Abelova grupa

V matematice značí Abelova grupa (někdy též abelovská grupa či komutativní grupa) grupu (G, ∗), ve které platí a ∗ b = b ∗ a pro všechna a a b z G. Abelovy grupy jsou pojmenovány po Nielsi Henriku Abelovi.

[editovat] Značení

Existují dvě hlavní konvence pro zápis abelových grup – aditivní a multiplikativní

Je zvykem, ačkoliv ne pevným pravidlem, zapisovat Abelovy grupy v aditivní notaci. Naopak, pokud nějaká grupa není Abelova, téměř nikdy se její grupová operace nezapisuje v aditivní notaci.

[editovat] Příklady

Každá cyklická grupa G je abelova, protože pokud x, y jsou z G, pak xy = a^maⁿ = a^{m + n} = a^{n + m} = aⁿa^m = yx.

Reálná čísla spolu se sčítáním jsou též abelovská grupa, stejně tak jako nenulová reálná čísla s násobením.

Každá konečná grupa prvočíselného řádu je Abelova, neboť je automaticky cyklická. Existuje i těžší tvrzení, podle nějž každá konečná grupa, jejíž řád je roven druhé mocnině prvočísla, je Abelova. Proto nejjednodušší příklad grupy, která není Abelova, musí mít minimálně 6 prvků. Takový jednoduchý příklad skutečně existuje, je jím grupa permutací tříprvkové množiny s operací „skládání permutací“.

[editovat] Vlastnosti Abelových grup

Klasifikace konečných Abelových grup představovala velký úkol algebry 19. a začátku 20. století. Jejím výsledkem je základní tvrzení, které stanovuje, že každá konečná Abelova grupa je direktním součtem cyklických grup o řádech rovných mocninám prvočísel. To je jen speciální případ obecnějšího tvrzení, podle nějž každá konečně generovaná Abelova grupa je direktním součtem konečných cyklických grup o řádech rovných mocninám prvočísel, a nekonečných cyklických grup.

Součinu konečných grup z výše zmíněné věty se rovněž říká torzní část Abelovy grupy, součinu nekonečných cyklických grup z výše zmíněné věty se říká beztorzní část Abelovy grupy. Je zřejmé, že beztorzní část konečné Abelovy grupy je triviální.

Každá podgrupa každé Abelovy grupy je Abelova a normální. Každá faktorgrupa každé Abelovy grupy je Abelova.

Každá Abelova grupa nese strukturu modulu nad oborem celých čísel a naopak, každý modul nad celými čísly je Abelovou grupou vůči své operaci sčítání (z definice). Pojmy Abelova grupa a modul nad celými čísly jsou ekvivalentní.