Kovariantní derivace

(Přesměrováno z Absolutní derivace, přímý odkaz na Kovariantní derivace)

V matematice slouží kovariantní derivace k určení derivace podél tečných vektorů na varietě.

Obsah

1 Motivace
2 Absolutní derivace
3 Kovariantní derivace
4 Vlastnosti
5 Související články

[editovat] Motivace

Parciální derivací kontravariantního vektoru $T ι$ dostaneme ${T^\iota}_{{},\kappa} = \frac{\part T^\iota}{\part x^\kappa}$ . Veličiny ${T^\iota}_{{},\kappa}$ se však netransformují jako tenzory. Z definice parciální derivace totiž plyne

${T^\iota}_{{},\kappa} = \lim_{\Delta x^\kappa\to 0} \frac{T^\iota(x^\lambda+\Delta x^\lambda)-T^\iota(x^\lambda)}{\Delta x^\kappa}$

V tomto vztahu se však vyskytuje rozdíl dvou vektorů v různých místech prostoru, což již není vektor. Podobné tvrzení platí i pro kovariantní vektory.

Abychom se tomuto problému vyhnuli, provedeme nejprve paralelní přenos vektoru $T ι$ do bodu $x λ + Δ x λ$ , takže v čitateli limity bude odečítat $T ι (x λ + Δ x λ)$ a paralelně přenesený vektor $T_{\|}^\iota$ ve stejném bodě.

[editovat] Absolutní derivace

Uvažujme křivku $x ι = x ι (u)$ , na níž zvolíme pevný bod $x ι (u 0)$ . Podél této křivky mějme vektorové pole $T ι (u)$ . Přeneseme-li paralelně $T ι (u 0)$ do všech ostatních bodů křivky, dostaneme podél křivky nové pole $T ι (u 0, u)$ .

Nyní lze definovat tzv. absolutní derivaci $T ι (u)$ podél křivky $x ι = x ι (u)$ v bodě $x ι (u 0)$ jako

${\left.\frac{\mathrm{D}T^\iota}{\mathrm{d}u}\right|}_{u_0} = \lim_{u\to u_0} \frac{T^\iota(u)-T_{\|}^\iota(u_0,u)}{u-u_0}$

Tento výraz lze upravit

${\left.\frac{\mathrm{D}T^\iota}{\mathrm{d}u}\right|}_{u_0} = \lim_{u\to u_0} \left[\frac{T^\iota(u)-T^\iota(u_0)}{u-u_0} - \frac{T_{\|}^\iota(u_0,u)-T_{\|}^\iota(u_0,u_0)}{u-u_0}\right] = \left[\frac{\mathrm{d}T^\iota}{\mathrm{d}u} + \Gamma_{{}\kappa\lambda}^\iota(x^\lambda(u))T^\kappa(u)\frac{\mathrm{d}x^\kappa}{\mathrm{d}u}\right]$

kde bylo využito toho, že $T_{\|}^\iota(u_0,u_0)=T^\iota(u_0)$ a $\Gamma_{{}\kappa\lambda}^\iota$ je afinní konexe.

[editovat] Kovariantní derivace

Máme-li vektorové pole $T ι (x)$ definované v okolí bodu $x_0^\lambda$ , můžeme vést tímto bodem libovolnou křivku $x^\lambda=x^\lambda(u), x_0^\lambda=x^\lambda(u_0)$ , podél které lze určit absolutní derivaci $T ι$ v $x_0^\lambda$ . Využijeme-li toho, že $\frac{\mathrm{d}T^\iota(x(u))}{\mathrm{d}u} = T_{{},\lambda}^\iota\frac{\mathrm{d}x^\lambda}{\mathrm{d}u}$ , lze pro $u 0$ absolutní derivaci vyjádřit jako

$\frac{\mathrm{D}T^\iota}{\mathrm{d}u} = \left[T_{{},\lambda}^\iota + \Gamma_{{}\kappa\lambda}^\iota T^\kappa\right]\frac{\mathrm{d}x^\lambda}{\mathrm{d}u}$

Výraz v hranaté závorce se nazývá kovariantní derivace a značí se

$\nabla_\lambda T^\iota = T_{{};\lambda}^\iota = T_{{},\lambda}^\iota + \Gamma_{{}\kappa\lambda}^\iota T^\kappa$

Podobným postupem lze získat také kovariantní a absolutní derivaci kovariantního vektoru. Pro obecný tenzor $T_{\iota\cdots}^{\kappa\cdots}$ pak platí

$\frac{\mathrm{D}T_{\iota\cdots}^{\kappa\cdots}}{\mathrm{d}u} = \frac{\mathrm{d}T_{\iota\cdots}^{\kappa\cdots}}{\mathrm{d}u} - \Gamma_{{}\iota\sigma}^\rho T_{\rho\cdots}^{\kappa\cdots}\frac{\mathrm{d}x^\sigma}{\mathrm{d}u} - \cdots + \Gamma_{{}\rho\sigma}^\kappa T_{\iota\cdots}^{\rho\cdots}\frac{\mathrm{d}x^\sigma}{\mathrm{d}u} + \cdots$

$\nabla_\lambda T_{\iota\cdots}^{\kappa\cdots} = T_{\iota\cdots;\lambda}^{\kappa\cdots} = T_{\iota\cdots,\lambda}^{\kappa\cdots} - \Gamma_{{}\iota\lambda}^\rho T_{\rho\cdots}^{\kappa\cdots} - \cdots + \Gamma_{{}\rho\lambda}^\kappa T_{\iota\cdots}^{\rho\cdots} + \cdots$

[editovat] Vlastnosti

Kovariantní derivace vektoru $T ι$ , tzn. $\nabla_\lambda T^\iota$ je tenzor. Kovariantní derivace zvyšuje řád tenzoru o 1. Absolutní derivace vektoru je vektor.

Absolutní a kovariantní derivace skaláru jsou definovány jako obyčejné derivace.

Platí Leibnitzovo pravidlo pro derivování součinu, tzn.

$\frac{\mathrm{D}S_\cdots^\cdots T_\cdots^\cdots}{\mathrm{d}u} = \frac{\mathrm{D}S_\cdots^\cdots}{\mathrm{d}u}T_\cdots^\cdots + S_\cdots^\cdots\frac{\mathrm{D}T_\cdots^\cdots}{\mathrm{d}u}$

$\nabla_\lambda (S_\cdots^\cdots T_\cdots^\cdots) = \left(\nabla_\lambda S_\cdots^\cdots\right)T_\cdots^\cdots + S_\cdots^\cdots \left(\nabla_\lambda T_\cdots^\cdots\right)$

Pro metrický tenzor platí vztahy

$g_{\iota\kappa;\lambda} = g_{\iota\kappa,\lambda} - g_{\rho\kappa}{\Gamma^\rho}_{\iota\lambda} - g_{\iota\rho}{\Gamma^\rho}_{\kappa\lambda} = g_{\iota\kappa,\lambda} - \Gamma_{\kappa\iota\lambda} - \Gamma_{\iota\kappa\lambda} = 0$

${\delta^\kappa}_{\iota;\lambda} = {\delta^\kappa}_{\iota,\lambda} + {\delta^\kappa}_\rho {\Gamma^\rho}_{\iota\lambda} - {\delta^\rho}_\iota {\Gamma^\kappa}_{\rho\lambda} = 0$

${g^{\iota\kappa}}_{;\lambda} = 0$

Metrický tenzor se tedy při kovariantních derivacích chová jako konstanta. Může tedy být použit např. při zvyšování (snižování) indexu tenzoru v kovariantní derivaci, tzn.

${g_{\iota\kappa}{\left(T_\cdots^{{}\kappa\cdots}\right)}}_{;\lambda} = T_{\iota\cdots;\lambda}^{{}\cdots}$

[editovat] Související články

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Kategorie: Diferenciální geometrie | Riemannova geometrie

Kovariantní derivace v jiných jazycích: Deutsch, English, Français, Italiano, Polski, Русский, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Kovariantn%C3%AD_derivace“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 30. 6. 2008 v 22:11.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).