Afinní konexe

Afinní konexe označuje v matematice a fyzice objekt, který umožňuje provádět transformace křivočarých souřadnic.

Obsah

1 Definice
2 Christoffelovy symboly
3 Vlastnosti
- 3.1 Integrabilita afinní konexe
4 Související články

[editovat] Definice

Afinní konexi lze v Riemannově prostoru vyjádřit pomocí metrického tenzoru jako

$\Gamma_{\iota\kappa\lambda} = \frac{1}{2}\left(\frac{\part g_{\iota\kappa}}{\part x^\lambda} - \frac{\part g_{\kappa\lambda}}{\part x^\iota} + \frac{\part g_{\lambda\iota}}{\part x^\kappa}\right) = \frac{1}{2}\left(g_{\iota\kappa,\lambda} - g_{\kappa\lambda,\iota} + g_{\lambda\iota,\kappa}\right)$ ,

kde čárkou je označena parciální derivace podle dané souřadnice.

Vyjdeme-li z požadavku, aby při se paralelním přenosu v Riemannově prostoru po křivce $x = x (u)$ zachovávala norma vektoru $T$ , pak lze psát

$\frac{\mathrm{d}\left(g_{\iota\kappa}T_{\|}^\iota T_{\|}^\kappa\right)}{\mathrm{d}u} = \frac{\mathrm{d}g_{\iota\kappa}}{\mathrm{d}u}T_{\|}^\iota T_{\|}^\kappa + 2g_{\iota\kappa} T_{\|}^\iota \frac{\mathrm{d}T_{\|}^\kappa}{\mathrm{d}u} = \left(g_{\iota\kappa,\lambda} - 2g_{\iota\mu}\Gamma_{{}\kappa\lambda}^\mu\right) T_{\|}^{(\iota}T_{\|}^{\kappa)} \frac{\mathrm{d}x^\lambda}{\mathrm{d}u} = 0$

kde bylo využito symetrie metrického tenzoru, $T_{\|}$ označuje paralelně přenesený vektor $T$ a čárkou je označována parciální derivace. V určitém bodě $x$ musí tato rovnice platit pro libovolný vektor $T ι$ a pro libovolnou volbu směru. Musí tedy platit

g ικ,λ - Γ ικλ - Γ κιλ = 0

kde $\Gamma_{\iota\kappa\lambda} = g_{\iota\mu}\Gamma_{{}\kappa\lambda}^\mu$ . Vzhledem k symetrii metrického tenzoru lze přechozí vztah zapsat v ekvivalentním tvaru

g ικ,λ = 2Γ (ικ)λ

Permutací indexů (a vhodnou změnou znaménka) můžeme zapsat soustavu rovnic

g ικ,λ - Γ ικλ - Γ κιλ = 0

- g κλ,ι + Γ κλι + Γ λκι = 0

g λι,κ - Γ λικ - Γ ιλκ = 0

Sečtením těchto rovnic získáme uvedený definiční vztah.

Afinní konexe bývá také zapisována jako

$\Gamma_{\iota\kappa\lambda} = \frac{1}{2}\left(g_{\iota\kappa,\lambda} - g_{\kappa\lambda,\iota} + g_{\lambda\iota,\kappa} + c_{\iota\kappa\lambda} - c_{\kappa\lambda\iota} + c_{\lambda\iota\kappa} \right)$ ,

kde $c ικλ$ jsou tzv. strukturní koeficienty.

[editovat] Christoffelovy symboly

Veličiny $Γ ικλ$ bývají také zapisovány jako $[ι,κλ]$ a označovány jako Christoffelovy symboly prvého druhu. Podobně bývají veličiny $\Gamma_{{}\kappa\lambda}^\iota$ zapisovány jako $\left\{{}_{\kappa{}\lambda}^{{}\iota}\right\}$ a označovány jako Christoffelovy symboly druhého druhu.

[editovat] Vlastnosti

Afinní konexe není tenzor, tzn. při transformaci souřadnic se netransformuje jako tenzor.
V prostorech, v nichž jsou strukturní koeficienty nulové, což je případ využívaný v obecné teorii relativity, platí $Γ ικλ = Γ ιλκ$ .

[editovat] Integrabilita afinní konexe

Integrabilita afinní konexe.

Uvažujme dva body $x 1, x 2$ Riemannova prostoru, které jsou spojeny křivkami $k, k^\prime$ . Při paralelním přenosu podél křivek $k$ a $k^\prime$ vektoru $T$ , který má v $x 1$ hodnotu $T 1$ , dostaneme v bodě $x 2$ dvě různé hodnoty $T 2$ (podél křivky $k$ ) a $T_2^\prime$ (podél křivky $k^\prime$ ).

Pokud mezi libovolnými dvěma body prostoru (nebo jeho části) platí $\Delta T=T_2^\prime-T_2 = 0$ pro libovolné pole $T$ , pak říkáme, že přenos směru je integrabilní, popř. přenos afinní konexe je integrabilní.

Je-li afinní konexe integrabilní, pak v případě, že vektorové pole protneme libovolnou křivkou $x = x (u)$ , budou vektory $T (x (u))$ podél této křivky rovnoběžné. To vede k tomu, že absolutní derivace tohoto pole je podél dané křivky nulová, tzn.

$\frac{\mathrm{D}T^\iota}{\mathrm{d}u} = {\left[T_{\,;\kappa}^\iota\right]}_{x(u)} \frac{\mathrm{d}x^\kappa}{\mathrm{d}u} = 0$

Poněvadž křivku v předchozím vztahu lze vést libovolným směrem $\frac{\mathrm{d}x^\kappa}{\mathrm{d}u}$ , musí platit

$T_{\,;\kappa}^\iota = 0$ ,

kde středník označuje kovariantní derivaci. Kovariantní derivací předchozího vztahu dostaneme $T_{\,;[\kappa\lambda]}^\iota = -2R_{\,\sigma\kappa\lambda}^iota T^\sigma$ . Vzhledem k libovolnosti pole $T$ musí v případě integrabilní afinní konexe platit v celé vyšetřované oblasti pro tenzor křivosti vztah

$R_{\,\kappa\lambda\mu}^\iota = 0$ .

Je-li tedy afinní konexe integrabilní, je prostor plochý.

[editovat] Související články

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Kategorie: Matematické pahýly | Riemannova geometrie

Afinní konexe v jiných jazycích: English, 한국어, Português, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Afinn%C3%AD_konexe“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 30. 6. 2008 v 22:11.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).