Rovnice

Uvažujme dvě funkce f(x),g(x), které jsou definovány na nějaké množině D, pak nalezení všech , která splňují rovnost

f(x) = g(x)

se nazývá rovnicí o jedné neznámé x. Funkce f(x) se nazývá levá strana rovnice a g(x) se nazývá pravá strana rovnice.

[editovat] Kořeny rovnice

Podrobnější informace naleznete v článku Kořen (matematika).

Každé číslo , které vyhovuje vztahu f(x₀) = g(x₀), se nazývá kořen rovnice. Množinu všech kořenů dané rovnice označujeme jako řešení rovnice. Má-li rovnice alespoň jeden kořen v D, nazývá se řešitelná v D, pokud žádný kořen v D nemá, říkáme, že rovnice je v D neřešitelná. Pokud je rovnice f(x) = g(x) splněna pro všechna , jde o identitu, což značíme

[editovat] Triviální řešení

Řešení, které je identicky rovno nule, se označuje jako triviální. Pokud řešení rovnice není identicky rovno nule, hovoří se o netriviálním řešení.

V mnoha případech přímo součástí zadání problému požadavek na nalezení pouze netriviálního řešení.

Např. triviálním řešením diferenciální rovnice

je

y = 0,

což je funkce identicky rovna nule. Netriviální řešení má tvar

y = e^x,

což je exponenciální funkce.

Jiným příkladem je tzv. Velká Fermatova věta, která hledá netriviální řešení rovnice aⁿ + bⁿ = cⁿ pro n > 2. Triviálním řešením by v tomto případě bylo a = b = c = 0, což platí pro libovolné n. Podobně je triviálním řešením a = 1,b = 0,c = 1. Takováto řešení jsou však obvykle nezajímavá.

[editovat] Ekvivalentní rovnice

Jsou-li na dané množině definovány dvě rovnice f₁(x) = g₁(x),f₂(x) = g₂(x), pak je-li každý kořen první rovnice současně kořenem rovnice druhé a naopak, říkáme, že obě rovnice jsou ekvivalentní.

Rovnici lze tzv. ekvivalentními úpravami převést na ekvivalentní rovnici. Mezi nejčastěji používané ekvivalentní úpravy patří:

• přičtení (nebo odečtení) stejného čísla k oběma stranám rovnice, tzn. f(x) + a = g(x) + a je ekvivalentní rovnicí s rovnicí f(x) = g(x)
• vynásobení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem, tzn. af(x) = ag(x) je ekvivalentní rovnicí s rovnicí f(x) = g(x)

Rovnici f(x) = g(x) je možné pomocí ekvivalentních úprav převést na (ekvivalentní) tvar

F(x) = f(x) − g(x) = 0

Při řešení rovnice lze použít také jiné úpravy, např. logaritmování nebo umocnění obou stran rovnice apod. Tyto úpravy však nemusí být ekvivalentní a při jejich použití je vždy nutno provést zkoušku.

[editovat] Zkouška

Po nalezení řešení rovnice provádíme zkoušku, neboť v mnoha případech nejsme schopni ověřit, zda použité úpravy byly opravdu ekvivalentní. Zkouška spočívá v dosazení získaných kořenů do původní rovnice. Pokud některý kořen nesplňuje zkoušku, nebyly pravděpodobně všechny provedené úpravy ekvivalentní, a nejedná se tedy o kořen původní rovnice.

[editovat] Rovnice o více neznámých

Rovnice o n neznámých má tvar

F(x₁,x₂,...,x_n) = 0

Při jejím řešení postupujeme obdobně jako při řešení rovnice o jedné neznámě F(x) = 0, přičemž řešením rovnice o n neznámých jsou n-tice (x₁,x₂,...,x_n).

[editovat] Algebraické a nealgebraické rovnice

Rovnice lze rozdělit na algebraické rovnice (též označované jako polynomiální rovnice) a nealgebraické rovnice (též transcendentní rovnice).

Jako algebraickou rovnici n-tého stupně o jedné neznámé označujeme rovnici ve tvaru

a_nxⁿ + a_{n − 1}x^{n − 1} + ... + a₁x + a₀ = 0,

kde levou stranu rovnice tvoří polynom n-tého stupně s , přičemž se předpokládá, že . Pokud rovnici nelze vyjádřit ve tvaru algebraické rovnice, pak hovoříme o rovnici nealgebraické.

Rovnice až do 4. stupně jsou obecně vždy řešitelné analyticky, v algebře se dokazuje, že obecný vzorec řešící jakoukoli rovnici 5. a vyšších stupňů neexistuje a řešení je nutné hledat numericky.

Mezi nejjednodušší algebraické rovnice patří lineární rovnice (n = 1), kvadratická rovnice (n = 2), kubická rovnice (n = 3) a kvartická rovnice (n = 4). Také pro některé zvláštní případy polynomů dostáváme jednoduché rovnice, jde např. o binomické, trinomické nebo reciproké rovnice.

Při práci s algebraickými rovnicemi má velký význam tzv. základní věta algebry. Podle této věty má každý polynom s komplexními koeficienty stupně alespoň jeden komplexní kořen. Každá algebraická rovnice má tedy řešení v oboru komplexních čísel. Řešení algebraických rovnic usnadňuje znalost některých vlastností polynomů.

Mezi nejjednodušší případy nealgebraických rovnic patří např. exponenciální rovnice, logaritmická rovnice nebo goniometrická rovnice.

[editovat] Homogenní rovnice

Algebraickou rovnici o několika neznámých označujeme jako homogenní, pokud mají všechny její členy stejný stupeň. Např. 3x²y + 3x³ + 2y³ − 5xy² = 0 je homogenní rovnice třetího stupně.

Homogenní rovnici lze vyjádřit ve tvaru f(x) = 0, kde f(x) je homogenní funkce.

[editovat] Další druhy rovnic

Rovnice obsahující derivace označujeme jako diferenciální.

Rovnice obsahující integrály označujeme jako integrální.

Rovnice obsahující diference proměnných označujeme jako diferenční.

[editovat] Externí odkazy

Rovnice na Matematice pro každého

[editovat] Související články

Související články obsahuje Portál Matematika

Wikislovník obsahuje slovníkovou definici slova rovnice.

• Algebra
• Nerovnice
• Soustava rovnic