Báze (algebra)

Báze vektorového prostoru je (neformálně řečeno) množina „os“ (například osy x, y, z v euklidovském prostoru), která umožňuje zavést na daném prostoru souřadnice.

Obsah

1 Definice
2 Ortogonální a ortonormální báze
3 Vlastnosti
4 Příklady bází
5 Související články

[editovat] Definice

Báze vektorového prostoru V je množina lineárně nezávislých vektorů, jejichž lineární obal je roven celému prostoru V. V konečně dimenzionálním prostoru dimenze n je bází každá množina obsahující n lineárně nezávislých vektorů.

U prostorů nekonečné dimenze je pojem složitější. Přímočaré zobecnění vede k pojmu Hammelovy báze (je to množina vektorů taková, že každý vektor je možné vyjádřit jako konečnou lineární kombinaci bázových vektorů).

Je-li $B=\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}$ bází $n$ -rozměrného vektorového prostoru $V$ , pak libovolný vektor $v \in V$ lze vyjádřit pomocí jednoznačně určených koeficientů $a i$ jako

$v = \sum_{i=1}^n a_i e_i$ .

Čísla ${a i}$ se pak nazývají souřadnice vektoru $v$ v bázi $B$ .

V případě Hilbertova prostoru nebo obecněji Banachova prostoru se pod pojmem báze (přesněji Schauderova báze) obvykle rozumí lineárně nezávislá množina vektorů splňující podmínku, že uzávěr jejich lineárního obalu je celý prostor.

[editovat] Ortogonální a ortonormální báze

Důležitou roli (např. v teorii Hilbertových prostorů) hrají báze ortogonální.

Báze v prostoru H se nazývá ortogonální, jestliže pro libovolné dva různé vektory u_i, u_k zvolené báze platí

$(\mathbf{u}_i,\mathbf{u}_k ) = 0$ ,

kde závorka označuje skalární součin.

Pokud navíc pro každý prvek báze $\mathbf{u}_i$ platí

$(\mathbf{u}_i,\mathbf{u}_i ) = 1$ ,

pak bázi označujeme jako ortonormální.

[editovat] Vlastnosti

Dvě různé báze daného prostoru mají stejný počet prvků.
Počet prvků báze se nazývá dimenze vektorového prostoru (pokud je konečný, jinak se dimenze nazve nekonečná).
Jsou-li v₁, v₂, …, v_k lineárně nezávislé vektory prostoru Vⁿ dimenze n a $k\leq n$ , pak je možné tuto množinu doplnit $n - k$ vektory na bázi $V n$ .

[editovat] Příklady bází

Vektory (0,1) a (1,1) tvoří bázi ve dvourozměrném prostoru $\mathbb{R}^2$ i $\mathbb{C}^2$ .
Vektory (0,1) a (1,0) tvoří v obou těchto prostorech jinou bázi, která je však ortonormální (při standardním skalárním součinu).
Funkce $\sin (2 \pi n x), n=1,2,\ldots$ a $\cos (2 \pi n x), n=0,1,2,\ldots$ tvoří ortonormální (Schauderovu) bázi prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí definovaných na intervalu (0,1), tj. prostoru $L 2 ((0,1))$ (chápaného jako Hilbertův prostor se standardním skalárním součinem).
Hermitovy polynomy tvoří ortogonální bázi prostoru polynomů se skalárním součinem $(P,Q):=\int \tilde{P} Q e^{-x^2}dx$ .

[editovat] Související články

Kategorie: Lineární algebra

Báze (algebra) v jiných jazycích: Български, Deutsch, English, Esperanto, Español, Suomi, Français, עברית, Hrvatski, Magyar, Italiano, 한국어, Nederlands, Polski, Português, Română, Русский, Simple English, Slovenščina, Српски / Srpski, Svenska, Українська, اردو, Tiếng Việt, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/B%C3%A1ze_(algebra)“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 13. 9. 2008 v 18:43.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).