Betzovo pravidlo

Betzovo pravidlo zformuloval Albert Betz při studiu teorie větrem poháněných strojů. Pravidlo odvozuje, jaká maximální množství energie lze získat pomocí rotoru z média, pohybujícícho se zadanou rychlostí. Pro odvození maximální účinnosti takového stroje (například větrné turbíny) lze vycházet z představy, že médium se pohybuje ve formě válce s průřezem, rovným průřezu disku rotoru a výškou, odpovídající rychlosti průtoku média.

Nechť v₁ je rychlost média, nabíhajícícho na rotor a v₂ rychlost média za rotorem. Průměrná rychlost média vzhledem k disku rotoru bude v_avg, kde

$v_{\rm avg} = \begin{matrix} \frac12 \end{matrix} \cdot (v_1 + v_2)$

Jestliže je plocha disku rotoru rovna S, a ρ je hustota média, bude hmotnostní tok média diskem za jednotku času roven :

$\dot m = \rho \cdot S \cdot v_{\rm avg} = \frac{\rho \cdot S \cdot (v_1 + v_2)}{2}$

Odvedená práce bude rovna rozdílu kinetických energií média nabíhajícího na rotor a média opouštějícícho rotor :

$\dot E = \begin{matrix} \frac12 \end{matrix} \cdot \dot m \cdot (v_1^2 - v_2^2)$

$= \begin{matrix} \frac14 \end{matrix} \cdot \rho \cdot S \cdot (v_1 + v_2) \cdot (v_1^2 - v_2^2)$

$= \begin{matrix} \frac14 \end{matrix} \cdot \rho \cdot S \cdot v_1^3 \cdot (1 - (\frac{v_2}{v_1})^2 + (\frac{v_2}{v_1}) - (\frac{v_2}{v_1})^3)$ .

Na vodorovnou osu je vynesen poměr rychlostí média před a za rotorem , svislá osa ukazuje průběh součinitele výkonnosti Cp.

Na vodorovnou osu je vynesen poměr rychlostí média před a za rotorem $\begin{matrix} \frac{v_2}{v_1} \end{matrix}$ , svislá osa ukazuje průběh součinitele výkonnosti C_p.

Derivací $\dot E$ podle $\begin{matrix} \frac{v_2}{v_1} \end{matrix}$ pro dané rychlosti v₁ a daný průměr disku rotoru S získáme extrém funkce $\dot E$ . Výsledkem je hodnota maxima $\dot E$ pro $\begin{matrix} \frac {v_2}{v_1} = \frac13 \end{matrix}$ .

Po dosazení této hodnoty je zřejmé, že:

$E_{\rm max} = \begin{matrix} \frac{16}{27} \cdot \frac{1}{2} \end{matrix} \cdot \rho \cdot S \cdot v_1^3$ .

Práce, kterou může odevzdat médium s rychlostí v₁ rotoru o průřezu S (tedy „válec“) bude rovna:

$E = \begin{matrix} \frac12 \end{matrix} \cdot \rho \cdot S \cdot v_1^3$ .

„Součinitel výkonnosti“ C_p (= $\begin{matrix} \frac {E_{\rm max}}{E} \end{matrix}$ ) dosahuje maxima pro : C_p.max = $\begin{matrix} \frac{16}{27} \end{matrix}$ = 0.593, tedy 59.3 %

Rotory reálných zařízení (například větrných turbín) vykazují další ztráty energie, které jejich účinnost dále snižují. Moderní zařízení proto dosahují hodnot C_p v rozsahu 0.4 to 0.5, tedy 70 až 80% teoreticky možných.

[editovat] Reference

Betz, A. (1966) Introduction to the Theory of Flow Machines. (D. G. Randall, Trans.) Oxford: Pergamon Press.

Kategorie: Mechanika

Betzovo pravidlo v jiných jazycích: Deutsch, English, Français, Italiano, 日本語, Nederlands, Svenska

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Betzovo_pravidlo“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 2. 4. 2008 v 17:23.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).