Binetův vzorec (mechanika)

V mechanice představuje Binetův vzorec rovnici popisující tvar trajektorie pohybu v centrálním poli. Obvykle se získá vyloučením času z pohybové rovnice, čímž se získá rovnice obsahující pouze prostorové proměnné.

[editovat] Rovnice

Uvažujme takový pohyb v centrálním poli, který probíhá v rovině $x y$ a velikost momentu hybnosti $L = L z$ je nenulová, tzn. $L_z\ne 0$ . Při popisu pohybu v centrálním poli je obvykle výhodné přejít ke sférickým souřadnicím.

Energii lze v centrálním poli vyjádřit jako

$E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + U_e(r)$ ,

kde $U e (r)$ je tzv. efektivní potenciál určený vztahem

$U_e(r) = U(r) + \frac{L_z^2}{2mr^2}$

Člen $\frac{L_z^2}{2mr^2}$ bývá označován jako tzv. odstředivý potenciál a $U (r)$ je potenciál pole.

Nahradíme-li radiální souřadnici $r$ za $\rho = \frac{1}{r}$ a zaměníme-li časovou derivaci derivací podle $\varphi$ , dostaneme po úpravě

${\left(\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}\varphi}\right)}^2 + \rho^2 + \frac{2m}{L_z^2}U(\rho) = \frac{2m}{L_z^2}E$

Derivací předchozího vztahu podle $\varphi$ a po úpravě získáme Binetův vzorec ve tvaru

$\frac{\mathrm{d}^2\rho}{\mathrm{d}\varphi^2} + \rho + \frac{m}{L_z^2}\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}\rho} = 0$

Binetův vzorec tedy představuje upravenou pohybovou rovnici pro radiální souřadnici. Tento vzorec umožňuje určit tvar orbity v centrálním poli.

[editovat] Gravitační pole

Trajektorii částice, která se pohybuje ve sféricky symetrickém gravitačním poli, lze ve sférických souřadnicích v Newtonově gravitační teorii vyjádřit Binetovým vzorcem, který má tvar

$\frac{\mathrm{d}^2\rho}{\mathrm{d}\varphi^2} + \rho = \frac{GM}{h^2}$

a vztahem

$r^2\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t} = h$

kde $\rho = \frac{1}{r}$ , $M$ je hmotnost centrálního tělesa a $h$ je specifický moment hybnosti testovací částice (tedy částice konající pohyb v centrálním poli), tedy moment hybnosti $L z$ částice dělený hmotností $m$ částice, tzn. $h=\frac{L_z}{m}$ .

[editovat] Související články

Centrální pole

Kategorie: Mechanika

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Binet%C5%AFv_vzorec_(mechanika)“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 8. 5. 2007 v 11:47.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).