Binomické rozdělení

(Přesměrováno z Binomické rozdělení pravděpodobnosti, přímý odkaz na Binomické rozdělení)

Binomické rozdělení popisuje četnost výskytu náhodného jevu v $n$ nezávislých pokusech, v nichž má jev stále stejnou pravděpodobnost. Pokud speciálně $n = 1$ , jde o alternativní rozdělení.

V matematických textech se můžeme setkat s označením $X$ ~ $B i (n,π)$ (někde také jako $B (n,π)$ ), kde $n$ udává počet pokusů a $π$ udává pravděpodobnost daného jevu.

[editovat] Rozdělení pravděpodobnosti

Diskrétní náhodná veličina $X$ s binomickým rozdělením může nabývat celočíselných hodnot od nuly po $n$ .

Pravděpodobnost, že jev nastane právě $x$ -krát z $n$ pokusů při pravděpodobnosti jevu $π$ , je určena rozdělením

$P[X=x] = {n \choose x}\pi^x(1-\pi)^{n-x}$

[editovat] Charakteristiky rozdělení

Binomické rozdělení lze také popsat některými charakteristikami.

Střední hodnota binomického rozdělení je

$\operatorname{E}(X)=n\pi$

Rozptyl je

$\operatorname{D}(X) = n\pi(1-\pi)$

Pro koeficient šikmosti dostáváme

$\gamma_1 = \frac{1-2\pi}{n\pi(1-\pi)}$

Koeficient špičatosti binomického rozdělení má hodnotu

$\gamma_2 = \frac{1-6\pi(1-\pi)}{n\pi(1-\pi)}$

Momentovou vytvořující funkci lze zapsat ve tvaru

$m(z) = {\left[\pi\mathrm{e}^z + (1-\pi)\right]}^n$

[editovat] Příklady

Jaká je pravděpodobnost, že při 5 vrzích kostkou padne právě 2× číslo 1?

$n=5, \, x=2, \, p=1/6$

$p_2= {5 \choose 2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(1-\frac{1}{6}\right)^{(5-2)} \approx 0,16 = 16%$

Pro $n\to\infty$ a malé pravděpodobnosti, tzn. $p\to 0$ , přechází binomické rozdělení v rozdělení Poissonovo.
Pro $p$ blízké $\frac{1}{2}$ lze binomické rozdělení již od $n$ v řádu několika desítek velmi dobře aproximovat normálním rozdělením.

[editovat] Související články

Poissonovo rozdělení
Multinomické rozdělení
Binomická věta – Podobný vzorec, ale pro n-tou mocninu dvou sčítanců.

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Kategorie: Náhodná rozdělení

Binomické rozdělení v jiných jazycích: العربية, Dansk, Deutsch, English, Español, فارسی, Suomi, Français, עברית, Magyar, Italiano, 日本語, 한국어, Lietuvių, Nederlands, ‪Norsk (bokmål)‬, Polski, Português, Русский, Simple English, Basa Sunda, Svenska, Türkçe, Українська, اردو, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Binomick%C3%A9_rozd%C4%9Blen%C3%AD“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 30. 6. 2008 v 22:01.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).