Burnsideův problém

Burnsideův problém je jeden z nejstarších a nejslavnějších problémů z teorie grup. V základní podobě byl formulován roku 1902 Williamem Burnsidem. Později byl zobecněn a ačkoli mnohé speciální případy tohoto problému již byly vyřešeny, v plné obecnosti zůstává i v současnosti (květen 2007) jedním z otevřených problémů.

Obsah

1 Obecný Burnsideův problém
- 1.1 Formulace
- 1.2 Řešení
2 Burnsideův problém
- 2.1 Formulace
- 2.2 Částečná řešení
3 Omezený Burnsideův problém
- 3.1 Formulace
- 3.2 Řešení
4 Odkazy
- 4.1 Související články
- 4.2 Externí odkazy

[editovat] Obecný Burnsideův problém

[editovat] Formulace

Nechť G je grupa. Množina $X\subseteq G$ se nazývá množinou generátorů G, lze-li každý prvek G vyjádřit jako konečný součin prvků z X a jejich inverzí (tj. prvků tvaru $x - 1$ pro $x\in X$ ). Grupa se nazývá konečně generovaná, má-li konečnou množinu generátorů.

Grupa G se nazývá periodická (také torzní) pokud ke každému $g\in G$ existuje n, že $g n = 1$ .

Obecný Burnsideův problém lze formulovat následujícím způsobem:

Nechť G je konečně generovaná periodická grupa. Musí pak G být konečná?

[editovat] Řešení

Řešení obecného Burnsideova problému je negativní. V roce 1964 sestrojili Golod a Šafarevič příklad nekonečné periodické konečně generované grupy (jejich grupa byla dokonce p-grupou).

[editovat] Burnsideův problém

[editovat] Formulace

Burnsideův problém je upřesněním obecného Burnsideova problému. Zní následovně:

Nechť je dáno přirozené n a grupa G konečně generovaná a splňující $g n = 1$ pro všechny své prvky g. Musí pak G být konečná?

[editovat] Částečná řešení

Roku 1968 Adian a Novikov ukázali, že pro každé liché n > 4381 je odpověď negativní. Zajímavou třídou protipříkladů jsou takzvaná Tarského monstra pocházející z roku 1982. V plné obecnosti zůstává problém dodnes nevyřešen.

[editovat] Omezený Burnsideův problém

[editovat] Formulace

Omezený Burnsideův problém byl položen v roce 1930. Lze ho formulovat takto:

Existuje jen konečně mnoho (neizomorfních) konečných grup generovaných r prvky a splňujících $g n = 1$ pro všechna $g\in G$ , kde r a n jsou daná přirozená čísla?

[editovat] Řešení

Kladnou odpověď na tento problém podal roku 1991 Zelmanov. Za toto řešení obdržel roku 1994 Fieldsovu medaili. Zelmanovovo řešení používá teorii Lieových algeber.

[editovat] Odkazy

[editovat] Související články

[editovat] Externí odkazy

A History of the Burnside Problem

Kategorie: Teorie grup | Matematické problémy

Burnsideův problém v jiných jazycích: English, Magyar, Русский

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Burnside%C5%AFv_probl%C3%A9m“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 4. 6. 2008 v 15:14.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).