Cantor-Bernsteinova věta

Cantor-Bernsteinova věta (také Cantor-Schröder-Bernsteinova věta) je matematické tvrzení z oblasti teorie množin, které má zásadní význam pro srovnávání nekonečných mohutností.

[editovat] Znění

Nejpřirozenější formulací Cantor-Bernsteinovy věty je následující:

Má-li množina A mohutnost menší nebo rovnu než množina B a množina B má mohutnost menší nebo rovnu než množina A, pak množiny A,B mají stejnou mohutnost.

Zapracujeme-li do této formulace i definici pojmu mohutnosti, dostaneme zápis o trochu méně srozumitelný, z nějž je však lépe vidět podstata problému:

Existují-li prosté zobrazení množiny A do množiny B, a prosté zobrazení množiny B do množiny A, pak existuje bijekce mezi těmito dvěma množinami.

[editovat] Důkaz

Zobrazení h

Nechť $f:A\rightarrow B$ a $g:B \rightarrow A$ jsou prostá zobrazení. Definujeme zobrazení $h:P(A) \rightarrow P(A)$ , kde P(A) je potenční množina A (množina všech podmnožin A), takto pro $U \subseteq A : h(U)=g[B-f[A-U]]$ (viz obrázek). Snadno je vidět, že h je monotónní (pro $U\subseteq V$ je $h(U) \subseteq h(V)$ ). Dále se dokáže, že každé monotónní zobrazení mezi P(A) a P(A) má pevný bod (množinu U takovou, že $U\,=\,h(U)$ ). K tomu stačí zvolit $U = \bigcup \{V \subseteq A; V\subseteq h(V)\}$ . Nakonec, je-li $W \subseteq A$ pevný bod h, položíme $F(x)= \begin{cases} f(x) \mbox{ pro x}\in A-W \\ g^{-1}(x) \mbox{ pro x}\in W \end{cases}$ . Snadno se ověří, že $F:A\rightarrow B$ je bijekce.

[editovat] Historie

Prvním, kdo formuloval tvrzení Cantor-Bernsteinovy věty, byl roku 1882 Georg Cantor. Ještě téhož roku se však Cantor svěřil Dedekindovi, že toto tvrzení nedovede dokázat. Cantor pravdivost tohoto tvrzení mnohokrát ohlásil, dokázáno však bylo až v letech 1896 resp. 1897 Friedrichem W. Schröderem a Felixem Bernsteinem.

Kategorie: Teorie množin | Matematické věty a důkazy

Cantor-Bernsteinova věta v jiných jazycích: Deutsch, English, Español, Suomi, Français, עברית, Italiano, 日本語, Polski, Português, Русский, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Cantor-Bernsteinova_v%C4%9Bta“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 3. 11. 2008 v 05:21.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).