Cauchyův vzorec

Cauchyův vzorec je jeden ze základních integrálních vztahů komplexní analýzy. Umožňuje vyjádřit hodnotu analytické funkce v libovilném bodě uvnitř křivky pomocí integrálu závislého pouze na hodnotách této funkce v bodech dané křivky.

[editovat] Vzorec

Nechť $c$ je jednoduchá po částech hladká uzavřená křivka a funkce $f (z)$ je analytická ve vnitřku $\mathbf{G}$ křivky $c$ a spojitá v $\overline \mathbf{G} = \mathbf{G} \cup c$ . Pro $z_0 \in \mathbf{G}$ pak platí

$f(z_0) = \frac{1}{2\mathrm{i}\pi} \int_c \frac{f(z) \mathrm{d}z}{z - z_0}$

Podle tohoto vzorce je tedy možné vyjádřit hodnotu funkce $f (z)$ v libovolném bodě $z 0$ uvnitř křivky $c$ prostřednictvím integrálu závislého pouze na hodnotách funkce $f (z)$ v bodech na křivce $c$ .

Podobně lze vyjádřit n-tou derivaci funkce $f (z)$ v bodě $z_0 \in \mathbf{G}$ jako

$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\mathrm{i}\pi} \int_c \frac{f(z) \mathrm{d}z}{{(z - z_0)}^{n+1}}$

pro $n = 1,2,...$ .

[editovat] Související články

Integrál komplexní funkce

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Kategorie: Matematické pahýly | Komplexní analýza

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Cauchy%C5%AFv_vzorec“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 30. 6. 2008 v 22:04.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).