Cauchyho-Riemannovy podmínky

V matematice, konkrétně v komplexní analýze, jsou Cauchyho-Riemannovy podmínky nutnou (ne však postačující) podmínkou, aby daná funkce byla holomorfní (tedy komplexně diferencovatelná). Postačující podmnínkou jsou např. pokud mají funkce u,v spojité parciální derivace. Jde o parciální diferenciální rovnice pojmenované po Augustinu Cauchym a Bernhardu Riemannovi. Poprvé se tyto rovnice objevily roku 1752 v práci D'Alemberta.

Obsah

1 Cauchy-Riemannova věta
2 Odvození
- 2.1 Jako derivace funkce dvou proměnných
- 2.2 Pomocí reprezentace derivace jako lineárního zobrazení
3 Reference
4 Vnější odkazy

[editovat] Cauchy-Riemannova věta

Následující tvrzení, které charakterizuje holomorfní funkce pomocí Cauchy-Riemannových podmínek, bývá označováno jako Cauchy-Riemannova věta.

Buď f(x + iy) = u + iv funkce z otevřené podmnožiny komplexních čísel C do C, kde x a y jsou reálná čísla a u, v jsou reálné funkce definované na otevřené podmnožině R². Potom f je holomorfní právě když u a v jsou spojitě diferencovatelné a jejich parciální derivace splňují Cauchyho-Riemannovy podmínky:

${ \partial u \over \partial x } = { \partial v \over \partial y}$

${ \partial u \over \partial y } = -{ \partial v \over \partial x}.$

[editovat] Kompaktní formulace

Tyto dvě podmínky lze ekvivalentně vyjádřit pomocí jediného vztahu:

${ i { \partial f \over \partial x } } = { \partial f \over \partial y } .$

[editovat] Formulace v polárních souřadnicích

Uvažujeme-li zápis komplexního čísla v polárních souřadnicích: $z = r e i θ$ , lze zapsat Cauchyho-Riemannovy podmínky ve tvaru:

${ \partial u \over \partial r } = {1 \over r}{ \partial v \over \partial \theta},$

${ \partial v \over \partial r } = -{1 \over r}{ \partial u \over \partial \theta}.$

[editovat] Kompaktní formulace v polárních souřadnicích

Opět lze tyto dvě rovnice zapsat pomocí jediné:

${\partial f \over \partial r} = {1 \over i r}{\partial f \over \partial \theta},$

kde derivace uvažujeme v bodě $r e i θ$ .

[editovat] Odvození

[editovat] Jako derivace funkce dvou proměnných

První možností jak vést důkaz je říci, že má-li funkce parciální derivaci jako funkce dvou proměnných, potom musí mít stejnou hodnotu podél všech křivek procházejících daným bodem. Máme-li funkci f(z) = u(x, y) + i v(x, y) nad C, a počítáme-li derivaci v bodě, z₀, přibližujeme se k z₀ nejprve po křivce podél reálné osy a poté podél imaginární osy. Obě hodnoty derivací musí vyjít stejné.

Podél reálné osy:

$f'(z)\,$	$=\lim_{h\rightarrow 0} {f(z+h)-f(z) \over h}$
	$=\lim_{h\rightarrow 0}{u(x+h,y)+iv(x+h,y)-[u(x,y)+iv(x,y)]\over h}$
	$=\lim_{h\rightarrow 0}{[u(x+h,y)-u(x,y)]+i[v(x+h,y)-v(x,y)]\over h}$
	$=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{u(x+h,y)-u(x,y)}{h}+i\frac{v(x+h,y)-v(x,y)}{h}\right]},$

což je z definice parciální derivace rovno

$f'(z)={\partial u \over \partial x} + i {\partial v \over \partial x}.$

Podél imaginární osy:

$f'(z)\,$	$=\lim_{h\rightarrow 0} {f(z+ih)-f(z) \over ih}$
	$=\lim_{h\rightarrow 0}{u(x,y+h)+iv(x,y+h)-[u(x,y)+iv(x,y)]\over ih}$
	$=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{ih} +i\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{ih}\right]}$
	$=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[-i\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{h}+\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}\right]}$
	$=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}-i\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{h}\right]}.$

tedy opět z definice parciální derivace:

$f'(z)={\partial v \over \partial y} - i {\partial u \over \partial y}.$

Porovnáním těchto dvou výsledků

${\partial u \over \partial x} + i {\partial v \over \partial x} = {\partial v \over \partial y} - i {\partial u \over \partial y}.$

Má-li se rovnat reálná i imaginární část bude

${\partial u \over \partial x} = {\partial v \over \partial y}$

${\partial u \over \partial y} = - {\partial v \over \partial x}. \quad\square$

[editovat] Pomocí reprezentace derivace jako lineárního zobrazení

Další možností, jak odvodit Cauchyho-Riemannovy podmínky je uvažovat komplexní derivaci jako lineární zobrazení a to dvěma způsoby – jako zobrazení z $\mathbb{C}$ do $\mathbb{C}$ a jako zobrazení z $\mathbb{R}^{2}$ do $\mathbb{R}^{2}$ .

Chápeme-li f přirozeným způsobem jako funkci z $\mathbb{R}^{2}$ do $\mathbb{R}^{2}$ , je lineární zobrazení L totálním diferenciálem f v bodě z, platí-li:

$\,f(z+h)=f(z) + L(h) + \xi(h)$ , kde

ξ

je funkce splňující $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\xi(h)}{\|h\|}=0.$

Na druhou stranu si uvědomme, že komplexní číslo w je komplexní derivací funkce $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ v bodě z, právě když pro všechna $h\in\mathbb{C}$ platí:

$\,f(z+h)=f(z) + w\cdot h + \xi(h)$ , kde

ξ

je opět funkce splňující $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\xi(h)}{|h|}=0.$

Přitom w = s + it určuje jednoznačně lineární zobrazení $W:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ dané maticí

$W= \begin{pmatrix} s & -t \\ t & \;\; s \end{pmatrix}.$

Toto zobrazení splňuje (stále při přirozeném ztotožňování komplexních čísel s vektory z $\mathbb{R}^2$ ) vztah $W(h)= w\cdot h$ , tedy platí:

$\,f(z+h)=f(z) + W(h) + \xi(h)$ , kde

ξ

je opět funkce splňující $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\xi(h)}{|h|}=0.$ .

Tedy na jednu stranu, má-li f v bodě z komplexní derivaci w, je zobrazení W totálním diferenciálem $f(x,y)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)$ a tedy platí:

$W= \begin{pmatrix} s & -t \\ t & \;\; s \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{\part u}{\part x}(z) & \frac{\part u}{\part y}(z) \\ \frac{\part v}{\part x}(z) & \frac{\part v}{\part y}(z) \end{pmatrix},$

odkud Cauchyho-Riemannovy podmínky zřejmě plynou.

Na druhou stranu, má-li f = u + iv spojité parciální derivace v z, má v z totální diferenciál:

$\mathrm{d}f(z)= \begin{pmatrix} \frac{\part u}{\part x}(z) & \frac{\part u}{\part y}(z) \\ \frac{\part v}{\part x}(z) & \frac{\part v}{\part y}(z) \end{pmatrix}.$

Pak z dříve dokázaných vztahů je číslo $w=\frac{\part u}{\part x}(z)+i\cdot\frac{\part v}{\part x}(z)$ komplexní derivací funkce f, neboť díky platnosti Cauchyho-Riemannových podmínek je lineární zobrazení W určené takto definovaným w rovno $d f (z)$ . $\quad\square$

[editovat] Reference

Veselý, J.: Komplexní analýza, Karolinum Praha, 2000

[editovat] Vnější odkazy

(en)Cauchyho-Riemannovy podmínky na MathWorldu

Kategorie: Komplexní analýza | Matematické věty a důkazy

Cauchyho-Riemannovy podmínky v jiných jazycích: Català, Deutsch, English, Español, فارسی, Suomi, Français, עברית, Magyar, Italiano, 한국어, Polski, Română, Русский, Svenska, Türkçe, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Cauchyho-Riemannovy_podm%C3%ADnky“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 28. 9. 2008 v 21:28.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).