Momentová vytvořující funkce

(Přesměrováno z Centrální moment, přímý odkaz na Momentová vytvořující funkce)

Momentová vytvořující funkce (nebo také charakteristická funkce) je důležitou charakteristikou obsahující informace o rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny.

Obsah

1 Definice
2 Základní vlastnosti
3 Momenty
4 Související články

[editovat] Definice

Momentová vytvořující funkce je pro náhodnou veličinu $X\,\!$ definována jako střední hodnota funkce $\mathrm{e}^{zX} \,\!$ , tzn.

$m_X(z) = \operatorname{E}\left(\mathrm{e}^{zX}\right),\,\!$

kde $z \,\!$ je pomocný parametr. Pro diskrétní náhodnou veličinu $X \,\!$ je tedy momentová vytvořující funkce definována jako

$m_X(z) = \sum_{x} \mathrm{e}^{zx} P(x),\,\,\!$

kde $P(x) = P(X=x) \,\!$ je pravděpodobnostní funkce veličiny $X \,\!$ Pro spojitou náhodnou veličinu $X \,\!$ pak momentovou vytvořující funkci definujeme jako

$m_X(z) = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{zx}f(x)\mathrm{d}x,\,\!$

kde $f(x) \,\!$ je hustota pravděpodobnosti veličiny $X \,\!$ .

Mezi momentovou vytvořující funkcí a rozdělením pravděpodobnosti existuje vzájemně jednoznačný vztah.

[editovat] Základní vlastnosti

Momentová vytvořující funkce má tyto základní vlastnosti:

$k \,\!$ -tá derivace v bodě $0 \,\!$ dává $k \,\!$ -tý (obecný) moment.

$m_X(z)^{(k)}|_{z=0} = \operatorname{E}\left.\left(X^k \mathrm{e}^{zX}\right)\right|_{z=0} = \operatorname{E}(X^k)\,\!$
pro momentovou vytvořující funkci platí $m_{f(X)}(z) = E(e^{zf(X)})\,\,\!$
speciálně lze odvodit rozdělení součtu $n \,\!$ nezávislých náhodných veličin $X_i \,\!$ se stejným rozdělením a momentovou vytvořující funkcí $m_X(z) \,\!$ má veličina
$S = \sum_{i=1}^n X_i \,\!$ momentovou vytvořující funkci

$m_S(z) = E(e^{z \sum_{i=1}^n X_i}) = \prod_{i=1}^n E(e^{zX} ) = m_X(z)^n\,\!$

[editovat] Momenty

Momentovou vytvořující funkci lze využít k výpočtu tzv. momentů. Rozlišujeme momenty obecné, centrální a normované.

[editovat] Obecný moment

Pro diskrétní náhodnou veličinu $X \,\!$ definujeme $k\,\!$ -tý obecný moment jako

$\mu_k^\prime(X) = \sum_x x^k P(x) \,\!$

Pro spojitou náhodnou veličinu definujeme $k \,\!$ -tý obecný moment jako

$\mu_k^\prime(X) = \int_{-\infty}^\infty x^k f(x)\mathrm{d}x\,\!$ ,

kde $f(x) \,\!$ je hustota pravděpodobnosti spojité veličiny $X\,\!$ .

Uvedené vztahy mají smysl pouze tehdy, pokud výrazy na pravé straně konvergují absolutně.

[editovat] Vlastnosti

Moment $\mu_1^\prime(X)\,\!$ nazýváme střední hodnotou náhodné veličiny $X\,\!$ a značíme $\operatorname{E}(X)\,\!$ .

Hodnota $k\,\!$ -tého obecného momentu náhodné veličiny $\mathrm{i}X \,\!$ je rovna $k\,\!$ -té derivaci vytvořující funkce $m(z) \,\!$ v bodě $z=0\,\!$ , tzn.

$m(z)^{(k)}|_{z=0} = \operatorname{E}\left.\left(X^k \mathrm{e}^{zX}\right)\right|_{z=0} = \operatorname{E}(X^k) = \mu_k^\prime(X)\,\!$

[editovat] Centrální moment

Tzv. $k\,\!$ -tý centrální moment diskrétní náhodné veličiny $X\,\!$ definujeme vztahem

$\mu_k(X) = \sum_x {[x-\operatorname{E}(X)]}^k P(x)\,\!$ ,

kde $\operatorname{E}(X)\,\!$ je střední hodnota veličiny $X\,\!$ .

Pro spojitou náhodnou veličinu $X \,\!$ je $k \,\!$ -tý centrální moment definován jako

$\mu_k(X) = \int_{-\infty}^\infty {[x-\operatorname{E}(X)]}^k f(x)\mathrm{d}x\,\!$ ,

kde $\operatorname{E}(X) \,\!$ je opět střední hodnota veličiny $X\,\!$ a $f(x)\,\!$ je její hustota pravděpodobnosti.

[editovat] Vlastnosti

Z definice střední hodnoty $\operatorname{E}(X)\,\!$ plyne, že $\mu_1(X) \,\!$ je vždy nulový, tzn. $\mu_1(X)=0 \,\!$ . Druhý centrální moment $\mu_2(X) \,\!$ je tzv. rozptyl, který obvykle označujeme jako $\sigma^2(X) \,\!$ nebo $D(X) \,\!$ .

Každý centrální moment lze vyjádřit pomocí obecných momentů.

[editovat] Normovaný moment

Pro tzv. normovanou náhodnou veličinu $U=\frac{X-\operatorname{E}(X)}{\sigma(X)} \,\!$ lze definovat normované momenty. Pro diskrétní náhodnou veličinu dostaneme $k \,\!$ -tý normovaný moment ze vztahu

$\mu_k(U) = \sum_x {\left[\frac{x-\operatorname{E}(X)}{\sigma(X)}\right]}^k P(x)\,\!$

Pro spojitou náhodnou veličinu $X\,\!$ definujeme $k\,\!$ -tý normovaný moment jako

$\mu_k(U) = \int_{-\infty}^\infty {\left[\frac{x-\operatorname{E}(X)}{\sigma(X)}\right]}^k f(x)\mathrm{d}x\,\!$

[editovat] Vlastnosti

Normované momenty jsou bezrozměrnými veličinami a tedy také charakteristiky, které jsou na nich založeny, jsou bezrozměrné.

Každý normovaný moment lze vyjádřit pomocí centrálních momentů, které je však možné vyjádřit pomocí momentů obecných.

Používá se především třetí normovaný moment $\mu_3(U) \,\!$ , který nazýváme koeficientem šikmosti, a čtvrtý normovaný moment $\mu_4(U) \,\!$ , s jehož pomocí měříme špičatost rozdělení. Obvykle se špičatost měří tzv. koeficientem špičatosti $\gamma_2 \,\!$ , který lze vyjádřit prostřednictvím čtvrtého normovaného momentu jako $\mu_4(U)-3 \,\!$ .

[editovat] Související články

Kategorie: Náhodná rozdělení

Momentová vytvořující funkce v jiných jazycích: Deutsch, English, فارسی, Français, עברית, Italiano, 한국어, Nederlands, Polski, Русский, Basa Sunda, Svenska, Українська, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Momentov%C3%A1_vytvo%C5%99uj%C3%ADc%C3%AD_funkce“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 12. 11. 2008 v 12:38.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).