Cramerovo pravidlo

Cramerovo pravidlo je metoda umožňující nalezení řešení soustavy lineárních algebraických rovnic.

Obsah

1 Postup
2 Příklad
3 Důkaz
4 Související články
5 Externí odkazy

[editovat] Postup

Mějme soustavu lineárních rovnic, která obsahuje stejný počet neznámých jako je počet rovnic. Označme matici soustavy $\mathbf{A}$ . Dále označme $\mathbf{A}_i$ jako matici, kterou získáme z matice $\mathbf{A}$ , nahradíme-li v ní $i$ -tý sloupec sloupcem pravých stran soustavy rovnic.

Pokud zapíšeme matice soustavy a vektor pravých stran jako

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$

$\mathbf{B} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$ ,

pak má $\mathbf{A}_i$ tvar

$\mathbf{A}_i = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots & \cdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{m,i-1} & b_m & a_{m,i+1}& \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$

Pokud je determinant matice soustavy nenulový, $\det \mathbf{A} \neq 0$ , tzn. matice $\mathbf{A}$ je regulární, pak má soustava právě jedno řešení, pro které platí

$x_i = \frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}}$

pro $i = 1,2,..., n$ .

[editovat] Příklad

Úkolem je řešit soustavu rovnic

x + y = 3

x - 2 y = 1

Determinant matice soustavy je

$\det \mathbf{A} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -3$

Poněvadž je $\det \mathbf{A} \neq 0$ , lze použít Cramerovo pravidlo.

Dále určíme

$\det \mathbf{A}_1 = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -7$

$\det \mathbf{A}_2 = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2$

Řešení má tedy tvar

$x = \frac{\det \mathbf{A}_1}{\det \mathbf{A}} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3}$

$y = \frac{\det \mathbf{A}_2}{\det \mathbf{A}} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$

Zkouškou se přesvědčíme, že se skutečně jedná o řešení uvedené soustavy.

[editovat] Důkaz

$\frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}}=\frac{ \begin{vmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{j-1,1} & \cdots & a_{j-1,i-1} & b_{j-1} & a_{j-1,i+1} & \cdots & a_{j-1,n} \\ a_{j,1} & \cdots & a_{j,i-1} & b_j & a_{j,i+1} & \cdots & a_{j,n} \\ a_{j+1,1} & \cdots & a_{j+1,i-1} & b_{j+1} & a_{j+1,i+1} & \cdots & a_{j+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix}}{\det \mathbf{A}}=\sum_{j=1}^n b_j\frac{ \begin{vmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,i-1} & 0 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{j-1,1} & \cdots & a_{j-1,i-1} & 0 & a_{j-1,i+1} & \cdots & a_{j-1,n} \\ a_{j,1} & \cdots & a_{j,i-1} & 1 & a_{j,i+1} & \cdots & a_{j,n} \\ a_{j+1,1} & \cdots & a_{j+1,i-1} & 0 & a_{j+1,i+1} & \cdots & a_{j+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,i-1} & 0 & a_{n,i+1} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix}}{\det \mathbf{A}}$

Jestliže matici získanou vynecháním j-tého řádku a i-tého sloupce matice $\mathbf{A}$ označíme $\mathbf{A}_{ji}$ , pak rozvinutím determinantu v čitateli podle i-tého sloupce získáme

$\frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}}=\sum_{j=1}^n b_j\frac{(-1)^{i+j}\det\mathbf{A}_{ji}}{\det \mathbf{A}}$

Zlomek ve výrazu je prvkem $(\mathbf{A}^{-1})_{i,j}$ inverzní matice $\mathbf{A}^{-1}$ .

$\frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}}=\sum_{j=1}^n (\mathbf{A}^{-1})_{i,j}b_j=(\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b})_i$

Protože $\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$ a $\det \mathbf{A} \ne0$ , je $\mathbf{x}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}$ a tedy

$x_i=\frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}}$

[editovat] Související články

[editovat] Externí odkazy

Pěstujeme lineární algebru

Kategorie: Lineární algebra | Rovnice

Cramerovo pravidlo v jiných jazycích: Català, Deutsch, Ελληνικά, English, Esperanto, Español, Français, עברית, Íslenska, Italiano, 한국어, Latina, Nederlands, Polski, Português, Русский, Shqip, Српски / Srpski, Svenska, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Cramerovo_pravidlo“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 10. 10. 2008 v 23:08.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).