Cyklická grupa

V matematice konkrétně v teorii grup se pojemem cyklická grupa označuje grupa, která může být generována jedním jediným prvkem (to znamená, že v grupě existuje prvek a tak, že každý prvek grupy je mocninou a). Tento prvek se nazývá generátor cyklické grupy.

Cyklická grupa může mít více než jeden generátor. Například grupa všech celých čísel mod 5 se sčítáním má čtyři generátory: 1, 2, 3 a 4.

[editovat] Definice

Grupa (G,·) je cyklická právě tehdy, když existuje g∈G takový, že G={gⁿ|n∈Z}; kde g⁰=1, gⁿ=g·g^n-1, g^-n=(gⁿ)^-1. Takovému g se říká generátor.

[editovat] Základní vlastnosti cyklických grup

Každá cyklická grupa je automaticky Abelova, neboť generátor komutuje sám se sebou. To je důsledkem pravidla asociativity, které platí v každé grupě.

Nechť A,B jsou dvě konečné cyklické grupy, které mají stejný počet prvků. Pak tyto dvě grupy jsou izomorfní, neboť stačí zobrazit generátor jedné grupy na generátor druhé.

[editovat] Příklady cyklických grup

Každá konečná grupa, která má prvočíselný počet prvků, je cyklická. Plyne to z Lagrangeovy věty.

Cyklické však mohou být i grupy s neprvočíselným počtem prvků. Například každá grupa

(kde operace +, - jsou brány mod n) je cyklická.

Příkladem nekonečné cyklické grupy je grupa celých čísel se sčítáním

Tato grupa má dva generátory 1,-1. Naproti tomu grupa reálných čísel na sčítání není cyklická. Všechny nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní grupě celých čísel.

Mezi významné cyklické grupy patří grupy jednotek v některých okruzích (tyto grupy jsou grupami vzhledem k násobení, ne ke sčítání).

Dalším příkladem cyklických grup jsou grupy symetrií pravidelného n-úhelníka vůči operaci skládání zobrazení.

[editovat] Věty o cyklických grupách

• Každá konečná podgrupa multiplikativní grupy libovolného tělesa je cyklická. Jednoduchý důkaz vychází z vlastností Eulerovy funkce a ze skutečnosti, že polynom nad tělesem nemůže mít více kořenů, než je jeho stupeň.

• Každá konečná cyklická grupa řádu n má právě různých generátorů, kde je Eulerova funkce.

• Všechny sčítací grupy jsou cyklické. Naproti tomu multiplikativní grupy jednotek jsou cyklické jen v následujících případech: n = 2,n = 4,n = p^k,n = 2p^k, p liché prvočíslo a k přirozené číslo.

[editovat] Odkazy

[editovat] Literatura

• Drápal, A.: Úvod do teorie grup
• Koblitz, N.: A Short Course in Cryptography and Number Theory