Cyklus (algebra)

Nechť ${r 1, r 2,..., r k}$ je podmnožina množiny $M = {1,2,..., n}$ , kde $k > 1$ . Pak takovou permutaci $π$ , pro niž platí $π(r 1) = r 2,π(r 2) = r 3,...,π(r k - 1) = r k,π(r k) = r 1$ a $π(s) = s$ pro $s \in M - \{r_1,r_2,...,r_k\}$ , nazýváme cyklem délky $k$ a označujeme $(r 1, r 2,..., r k)$ .

Cyklus délky 2 se nazývá transpozicí.

[editovat] Nezávislé cykly

Máme-li dva cykly $(r 1, r 2,..., r k)$ a $(s 1, s 2,..., s m)$ , pak je označujeme jako nezávislé, jestliže platí $\{r_1,r_2,...,r_k\} \cap \{s_1,s_2,...,s_m\} = \emptyset$ .

Cykly $π 1,π 2,...,π m$ jsou nezávislé, jsou-li nezávislé každé dva cykly $\pi_i, \pi_j, i \neq j$ , pro $i, j = 1,2,..., m$ .

Násobení dvou nezávislých cyklů $π 1,π 2$ je komutativní, tzn. $\pi_1 \circ \pi_2 = \pi_2 \circ \pi_1$ .

[editovat] Rozklad permutace

Každou permutaci je možné rozložit na součin nezávislých cyklů, přičemž tento rozklad je (až na pořadí činitelů) jednoznačný.

Každou permutaci je také možno rozložit na součin transpozic. Rozklad na transpozice již není dán jednoznačně, pokud však existují dva různé rozklady permutace $π$ na součin transpozic $\pi = T_1 \circ T_2 \circ ... \circ T_m = S_1 \circ S_2 \circ ... \circ S_l$ , pak $m, l$ jsou buď obě sudá nebo obě lichá čísla. O permutaci $π$ pak říkáme, že je sudá, pokud ji lze rozložit na sudý počet transpozic, nebo lichá, jestliže ji lze rozložit na lichý počet transpozic.

Znaménko permutace $sgnπ$ , které má pro sudou permutaci hodnotu $sgnπ = 1$ a pro lichou permutaci hodnotu $sgnπ = - 1$ .

[editovat] Související články

Znaménko permutace

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Kategorie: Algebra

Cyklus (algebra) v jiných jazycích: English, Español

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Cyklus_(algebra)“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 11. 7. 2008 v 17:53.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).