Invia.cz
Eurovíkendy
Kanárské ostrovy
Dominikánská republika
Madeira
Last minute
Vydělávejte peníze s INVIA.CZ
Invia.cz
Eurovíkendy
Kanárské ostrovy
Dominikánská republika
Madeira
Last minute
Vydělávejte peníze s INVIA.CZ
Diskrétní kosinová transformace (anglicky discrete cosine transform, zkratka DCT) je diskrétní transformace podobná diskrétní Fourierově transformaci (DFT), ale produkující pouze reálné koeficienty. Je jednou z mnoha transformací příbuzných Fourierově transformaci. Existuje 8 standardních variant DCT, z nichž 4 jsou běžně používané.
Nějběžnější varianta diskrétní kosinové transformace je DCT typu II, která je často nazývána pouze „DCT“. K ní inverzní transformace je DCT typu III, také rovněž často nazývána pouze „inverzní DCT“ nebo zkratkou „IDCT“.
Obsah |
DCT je často používána při zpracování signálu a obrazu, obzvláště pro ztrátovou kompresi. Je například použita v obrazovém kodeku JPEG, video kodeku MJPEG, MPEG a DV. Její modifikace jsou použity v audio kodeku AAC, Vorbis a MP3.
Formálně je DCT lineární invertovatelná funkce F : RN → RN (kde R značí množinu reálných čísel); nebo ekvivalentně čtvercová matice N × N. Existuje několik variant DCT s mírně modifikovanou definicí. N realných čísel x0, …, xN-1 je transformováno do N reálných čísel X0, …, XN-1 podle jedné z rovnic:
![X_k = \frac{1}{2} (x_0 + (-1)^k x_{N-1}) + \sum_{n=1}^{N-2} x_n \cos \left[\frac{\pi}{N-1} n k \right]](/math/0/5/7/0579badb31555aef53780b857b4ee6e8.png)
DCT-I není definována pro N < 2. (Všechny ostatní typy DCT jsou definovány pro libovolné N.)
Inverzní transformace k DCT-I je DCT-I násobená 2/(N-1).
![X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cos \left[\frac{\pi}{N} \left(n+\frac{1}{2}\right) k \right]](/math/2/e/6/2e69cef1895db518ab2aa949e21e70f3.png)
DCT-II je pravděpodobně nejrozšířenější forma a je často uváděna pouze jako „DCT“.
Inverzní transformace k DCT-II je DCT-III násobená 2/N.
![X_k = \frac{1}{2} x_0 + \sum_{n=1}^{N-1} x_n \cos \left[\frac{\pi}{N} n \left(k+\frac{1}{2}\right) \right]](/math/9/2/3/9235b7725a3c1579548e481463debdd6.png)
Protože je to inverzní transformace k DCT-II (až na „měřítko“, anglicky scale factor), je tato forma někdy uváděna pouze jako „inverzní DCT“ („IDCT“).
Inverzní transformace k DCT-III je DCT-II násobená 2/N.
![X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cos \left[\frac{\pi}{N} \left(n+\frac{1}{2}\right) \left(k+\frac{1}{2}\right) \right]](/math/5/4/d/54d336b56085a1c67a3c9a3a864ae18e.png)
Inverzní transformace k DCT-IV je DCT-IV násobená 2/N.
Tyto varianty se v praxi používají zřídka.
Vícerozměrná transformace (transformace vícerozměrné funkce) může být spočítána jako série jednorozměrných transformací postupně v každém rozměru. Pro 2D například nejprve po řádcích a pak po sloupcích (nebo naopak).
2D DCT-II je například dána rovnicí:
![X_{k_1,k_2} = \sum_{n_1=0}^{N_1-1} \sum_{n_2=0}^{N_2-1} x_{n_1,n_2} \cos \left[\frac{\pi}{N_1} \left(n_1+\frac{1}{2}\right) k_1 \right] \cos \left[\frac{\pi}{N_2} \left(n_2+\frac{1}{2}\right) k_2 \right]](/math/e/0/a/e0a88242e1e34beb68f6ddf2d3d08da6.png)
Přestože přímá aplikace těchto rovnic může vyžadovat O(N2) operací, je možné spočítat stejnou transformaci pouze se složitostí O(N log N) použitím rychlé Fourierovy transformace (fast Fourier transform, FFT).
Úseky zdrojového kódu v jazyce C (DCT typu II a typu III):
Dopředná (anglicky forward) 1D DCT (typu II):
void fct(const double *input, double *output)
{
for(int h=0; h<LENGTH; h++)
{
double sum = 0;
for(int j=0; j<LENGTH; j++)
{
double xk = input[j];
double c = (M_PI/LENGTH)*h*(j+0.5);
sum += xk*cos(c);
}
output[h] = sum;
}
}
Zpětná (anglicky inverse) 1D DCT (typu III):
void ict(const double *input, double *output)
{
for(int h=0; h<LENGTH; h++)
{
double sum = 0;
for(int j=1; j<LENGTH; j++)
{
double xk = input[j];
double c = (M_PI/LENGTH)*j*(h+0.5);
sum += xk*cos(c);
}
sum += 0.5*input[0];
sum *= 2/(double)LENGTH;
output[h] = sum;
}
}