E=mc²

E = mc² na taipeiském mrakodrapu Taipei 101 při příležitosti Světového roku fyziky 2005

Rovnice E = mc² popsaná Albertem Einsteinem ve speciální teorii relativity patří mezi nejslavnější rovnice všech dob; znají ji i lidé, kteří se jinak o vědu nezajímají. Tato rovnice se stala jakýmsi „maskotem“, používá se jako příklad „složité vědy“, což ovšem její složitost přeceňuje.

Rovnice popisuje vztah mezi energií a hmotností:

Energie = hmotnost · (rychlost světla)²

Podle této rovnice je celkové množství energie, které lze z tělesa získat, rovno hmotnosti tělesa vynásobené druhou mocninou rychlosti světla. V praxi však lze hmotu na energii převádět obvykle jen s výrazně nižší účinností, proto množství získané energie nikdy nedosahuje této úrovně. Při běžných způsobech získávání energie (např. v jaderných elektrárnách) se totiž na energii nepřemění veškerá hmota, část (obvykle drtivá většina) původní hmoty zůstává jako „odpad“. Příkladem teoreticky úplné přeměny je reakce hmoty s antihmotou.

Jako historickou zajímavost je možné uvést, že v původní podobě Einstein tuto rovnici napsal ve tvaru m = L / c² (pro energii použil označení L namísto E).

Množství energie v jednom kilogramu (libovolné) hmoty je tedy

89 875 517 873 681 764 J (≈ 90 PJ) neboli
24 965 421 632 kWh (≈ 25 TWh),
což odpovídá energii uvolněné při výbuchu více než 21 megatun TNT.

[editovat] Odvození

Ačkoliv mnoho lidí vidí v této rovnici něco nepochopitelného až nadlidského, k jejímu odvození stačí pouze základy integrálního počtu.

Vyjdeme ze vztahu pro kinetickou energii E_k:

$E_k =W=\int_{\mathbf{r_1}(v_1=0)}^{\mathbf{r_2}(v_2\ne 0)} \mathbf{F}\, d\mathbf{r}=\int_{\mathbf{r_1}}^{\mathbf{r_2}} \frac{d\mathbf{p}}{dt}\, d\mathbf{r}=\int_{\boldsymbol{0}}^{\mathbf{p}} \mathbf{v}\,d\mathbf{p}=$

$=\int_{\boldsymbol{0}}^{\mathbf{p}} \mathbf{v}\,d(m.\mathbf{v})=$ .

Uvažujeme-li působení síly rovnoběžně s dráhou tělesa, lze vynechat vektory:

$=\int_{0}^{p} v(vdm+mdv)=\int_{0}^{p}(v^2 dm+mvdv)$ ,

druhý člen lze upravit podle vztahu pro relativistickou hmotnost:

$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ ,

$m^2=\frac{m_0^2}{\frac{c^2-v^2}{c^2}}$ ,

$m^2(c^2-v^2)=m_0^2c^2\,\!$ .

Uděláme diferenciál této rovnice,

$2mdm(c^2-v^2)+m^2 (-2vdv)=0\,\!$ ,

$dm(c^2-v^2)=mvdv\,\!$

a dosadíme do původní rovnice:

$E_k =\int_{m_0}^{m}(v^2 dm+dm(c^2-v^2))=\int_{m_0}^{m}(v^2 dm+c^2 dm-v^2 dm)=$

$=\int_{m_0}^{m}c^2 dm=c^2 \int_{m_0}^{m}1 dm=c^2 [m]_{m_0}^{m}=c^2(m-m_0)$

$E_k =mc^2-m_0 c^2\,\!$ .

Na levé straně je kinetická energie, $m 0 c 2$ je klidová energie (chemická, jaderná, potenciální).

$E=E_k +E_0=mc^2\,\!$

je tedy celková energie tělesa.

[editovat] Související články

Kategorie: Fyzika | Relativistická fyzika

E=mc² v jiných jazycích: العربية, Български, Brezhoneg, Català, Dansk, Deutsch, English, Español, Eesti, Euskara, فارسی, Suomi, Français, Galego, עברית, Hrvatski, Magyar, Bahasa Indonesia, Italiano, 日本語, 한국어, Latina, Ladino, Bahasa Melayu, Nnapulitano, Nederlands, ‪Norsk (nynorsk)‬, ‪Norsk (bokmål)‬, Polski, Português, Română, Русский, Sicilianu, Slovenčina, Slovenščina, Српски / Srpski, Svenska, Türkçe, Українська, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/E%3Dmc%C2%B2“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 27. 6. 2008 v 03:46.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).