Elektrický potenciál

Elektrický potenciál je skalární fyzikální veličina, která popisuje potenciální energii jednotkového elektrického náboje v neměnném elektrickém poli. Jedná se tedy o potenciál elektrického pole, tzn. množství práce potřebné pro přenesení jednotkového elektrického náboje ze vztažného bodu, kterému je přisouzen nulový potenciál, do daného místa. Za místo s nulovým potenciálem (tzn. vztažný bod) se obvykle bere buď nekonečně vzdálený bod (běžné u jiných potenciálů, u elektřiny obvykle pouze v teoretických úlohách), nebo povrch Země.

[editovat] Značení

Značka: φ
Základní jednotka: volt, zkratka: V

[editovat] Výpočet

Jelikož elektrický potenciál vyjadřuje potenciální energii na jednotku náboje, je možné jej vyjádřit jako

$\varphi = \frac{U}{Q}$ ,

kde U je potenciální energie nabitého tělesa a Q je jeho náboj.

Potenciál bodového náboje, který se nachází v počátku soustavy souřadnic, lze zapsat jako

$\varphi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q}{r} + \varphi_0$ ,

kde $\mathbf{r}$ je polohový vektor bodu prostoru a $\varphi_0$ je integrační konstanta, která určuje hodnotu potenciálu v nekonečnu. Obvykle se klade $\varphi_0 = 0$ .

Potenciál objemově rozloženého náboje s hustotou náboje $ρ$ lze vyjádřit vztahem

$\varphi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_V \frac{\rho(\mathbf{r}^\prime)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime|}\mathrm{d}V$ ,

kde $V$ je celkový objem, přes který se integruje.

Tento potenciál je definován ve všech bodech prostoru, tedy také v bodech, ve kterých je hustota náboje $ρ$ nenulová. Tím se potenciál spojitě rozloženého náboje odlišuje od potenciálu soustavy bodových nábojů. Tento potenciál je navíc všude spojitý a má ve všech bodech prostoru parciální derivaci alespoň prvního řádu, což v souvislosti s intenzitou elektrckého pole znamená, že také intenzita pole daná tímto vztahem je definována ve všech bodech prostoru včetně bodů, v nichž je hustota náboje nenulová.

Potenciál plošně rozloženého náboje lze vyjádřit jako

$\varphi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_S \frac{\sigma(\mathbf{r}^\prime)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime|}\mathrm{d}S$ ,

kde $σ$ je plošná hustota elektrického náboje.

Pro potenciál lineárně rozloženého náboje platí

$\varphi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_l \frac{\tau(\mathbf{r}^\prime)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime|}\mathrm{d}l$ ,

kde $τ$ je lineární hustota elektrického náboje.

[editovat] Poissonova rovnice

Dosadíme-li do Gaussova zákona elektrostatiky pro spojitě rozložený náboj místo intenzity elektrického pole potenciál, dostaneme

$\operatorname{div}\mathbf{E} = -\operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,\varphi = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$

Využijeme-li z vektorové analýzy tzv. Laplaceův operátor $\Delta = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}$ , lze předchozí vztah zapsat ve tvaru Poissonovy rovnice

$\Delta\varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$

Tato rovnice je platná ve všech bodech prostoru, v nichž platí Gaussův zákon.

Pokud je v některých bodech prostoru objemová hustota nulová, tzn. $ρ = 0$ , zjednoduší se předchozí rovnice na rovnici, která se označuje jako rovnice Laplaceova

$\Delta\varphi = 0$

[editovat] Vlastnosti

Na základě principu superpozice lze odvodit výraz pro potenciál soustavy $n$ bodových nábojů $Q 1$ až $Q n$ , jejichž polohové vektory jsou $\mathbf{r}_1$ až $\mathbf{r}_n$ .

$\varphi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\sum_{i=1}^n\frac{Q_i}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|} + \varphi_0$

Potenciál jednoho z bodových nábojů $Q i$ ze soustavy nábojů $Q 1$ až $Q n$ vzhledem k ostatním nábojům soustavy lze určit podle principu superpozice jako

$\varphi_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\sum_{j\ne i}\frac{Q_j}{|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j|}$

Záporný gradient potenciálu je roven intenzitě elektrického pole, tzn.

$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\operatorname{grad}\,\varphi(\mathbf{r})$

Potenciál elektrostatického pole lze podle chápat jako potenciální energii jednotkového náboje. Položíme-li potenciál v nekonečnu roven nule, tzn. $\varphi_0=0$ , potom lze podle předchozího vztahu psát

$\varphi(\mathbf{r}) = -\int_\infty^\mathbf{r} \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{l}$

Rozdíl potenciálů je roven napětí mezi danými body.

Plocha, na níž si potenciál zachovává svoji hodnotu, tzn. $\varphi=\mbox{konst}$ , se nazývá ekvipotenciální plocha.

Siločáry jsou vždy kolmé k ekvipotenciálním plochám. To lze ukázat diferenciací vztahu $\varphi=\mbox{konst}$ , tzn.

$\mathrm{d}\varphi = \frac{\part\varphi}{\part x}\mathrm{d}x + \frac{\part\varphi}{\part y}\mathrm{d}y + \frac{\part\varphi}{\part z}\mathrm{d}z = -(E_x\mathrm{d}x+E_y\mathrm{d}y+E_z\mathrm{d}z) = -\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = 0$ ,

kde $\mathrm{d}\mathbf{r}$ leží v tečné rovině k ekvipotenciální ploše. Vektory $\mathbf{E}$ a $\mathrm{d}\mathbf{r}$ jsou tedy vzájemně kolmé, tzn. $\mathbf{E}$ je kolmé k ekvipotenciální ploše.

[editovat] Související články

Elektrický potenciál v jiných jazycích: Беларуская (тарашкевіца), Български, Català, Deutsch, English, Español, Eesti, Suomi, Français, Galego, עברית, Hrvatski, Italiano, 日本語, 한국어, Lietuvių, Latviešu, Nederlands, ‪Norsk (nynorsk)‬, Polski, Português, Română, Русский, Simple English, Slovenčina, Slovenščina, Shqip, Українська, Tiếng Việt, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Elektrick%C3%BD_potenci%C3%A1l“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 27. 7. 2008 v 22:01.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).