Invia.cz
Last minute
Tunisko
Dovolená v Chorvatsku
Pojeďte do Egypta
Bulharsko
Vydělávejte peníze s INVIA.CZ
Eratosthenovo síto je jednoduchý algoritmus pro nalezení všech prvočísel menších než zadaná horní mez. Je pojmenován po řeckém matematikovi Eratosthenovi z Kyrény, který žil v letech 276–194 př. n. l.
Algoritmus funguje „prosíváním“ seznamu čísel – na počátku seznam obsahuje všechna čísla v daném rozsahu (2, 3, 4, …, zadané maximum). Poté se opakovaně první číslo ze seznamu vyjme, toto číslo je prvočíslem; ze seznamu se pak odstraní všechny násobky tohoto čísla (což jsou čísla složená). Tak se pokračuje do doby, než je ze seznamu odstraněno poslední číslo (nebo ve chvíli, kdy je jako prvočíslo označeno číslo vyšší než odmocnina nejvyššího čísla – v takové chvíli už všechna zbývající čísla jsou nutně prvočísly). Časová složitost tohoto algoritmu je O(N*log(log N)), kde N je horní mez rozsahu.
Obsah |
Pro nalezení prvočísel mezi prvními 20 čísly:
Krok 1: Seznam obsahuje všechna čísla v rozsahu 2–20:
Krok 2: Odebereme první číslo ze seznamu (2) a označíme ho jako prvočíslo:
Krok 3: Odebereme ze seznamu všechny násobky právě odebraného prvočísla (4, 6, 8, 10, …):
Krok 4: Pokračujeme opět krokem 2, dokud zbývají nějaká čísla (první číslo v seznamu a také prvočíslo je tentokrát 3):
Po dalším opakování:
5 je vyšší než √19, takže zbývají už jen prvočísla. (Kdyby ještě existovalo v seznamu číslo X, které je součinem dvou celých čísel A·B, musel by první činitel A být menší než √X a druhý činitel B by musel být větší než √X. Všechny násobky celých čísel menších než √20 jsou již ale ze seznamu odebrány, včetně X. Tím pádem se již v seznamu nenachází žádné číslo, které lze rozložit na součin.)
Výsledný seznam prvočísel v rozsahu 2–20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
program ErSito; const MaxN = 20; var Pole: array [2 .. MaxN] of boolean; i, j: integer; begin {inicializace: nejprve předpokládáme, že vše jsou prvočísla} for i := 2 to MaxN do Pole[i] := true; i := 1; repeat i := i + 1; {najdeme prvni cislo, u kterého je true} while (i<MaxN) and (not Pole[i]) do i := i + 1; {optimalizace: nemá smysl hledat násobky nižších čísel označené dříve} j := i; {najdeme všechny násobky daného prvočísla, které tudíž nejsou prvočísla} while j*i<=MaxN do begin Pole[j*i] := false; j := j + 1; end; until i>=sqrt(MaxN); {optimalizace: stačí hledat pouze po odmocninu z MaxN} {výpis prvočísel} for i := 2 to MaxN do if Pole[i] then Writeln(i); end.
int MaxN = 1024; boolean[] Pole = new boolean[MaxN+1]; int i,j; for (i=2;i<(MaxN+1);i++) { /* Inicializace pole (vse jsou prvocisla a postupne budem vyrazovat) */ Pole[i] = true; } i=2; while (i*i <= MaxN) { /* dokud mocnina prvniho cisla na seznamu je mensi nez nejvetsi */ if (Pole[i]){ /* pokud je i stale na seznamu (nezkoumej nasobky 4, kdyz jsme uz vyhodili nasobky 2 */ j=2; /* j bude novy nasobek */ while (i*j <= MaxN) { Pole[j*i] = false; /* cislo slozene */ j++; } } i++; }
#include <iostream> #include <set> using namespace std; int main() { int max; cout << "Zadejte cislo do ktereho chcete vypsat prvocisla" << endl; cin >> max; set<int> sito, prvocisla; set<int>::iterator p; int dalsi, nasobek; for (int i = 2; i <= max; i++) sito.insert(i); dalsi = 2; while (!sito.empty()) { while (sito.count(dalsi) == 0) dalsi++; prvocisla.insert(dalsi); nasobek = dalsi; while (nasobek <= max) { sito.erase(nasobek); nasobek += dalsi; } } for (p = prvocisla.begin(); p != prvocisla.end(); p++) cout << *p << ' '; cout << endl; }
MaxN = 1024 #horni hranice seznamu cisel SeznamN = range(2,MaxN+1) #vytvoreni seznamu cisel v rozpeti <2,1024> Prvocisla = [] #vytvoreni (prozatim) prazdneho seznam prvocisel while SeznamN[0]**2 <= SeznamN[-1]: #Dokud bude ctverec prvniho prvku SeznamuN mensi nebo roven poslednimu #prvku SeznamuN, vykonej: Prvocisla.append(SeznamN[0]) # 1)K seznamu Prvocisla pripoj prvni cislo ze SeznamuN Nasobky = range(SeznamN[0],SeznamN[-1]+1,SeznamN[0]) # 2)Vytvor seznam nasobku naposledy pripojeneho Prvocisla for k in Nasobky: # 3)Pro kazde cislo "k" v seznamu Nasobky: if k in SeznamN: # 1)Pouze pokud se k naleza v SeznamuN: SeznamN.remove(k) # 1)Odstran cislo/nasobek k ze SeznamuN;kod se opakuje od 4 radku #Prvni cislo v seznamu je vetsi jak odmocnina z cisla posledniho a tedy Prvocisla.extend(SeznamN) #zbyla cisla jsou prvocisla. Extend je podobné k append. print Prvocisla #Zobraz vysledek!
function erPrimes($max) { $numbers = range(2,$max,1); //inicializuji si pole cisel od 2 do $max po jedne $primes = array(); // inicializace vystupniho pole while (list($key,$value) = each($numbers)) { // nactu si dalsi cislo z pole if ($value) { // zjistim jestli cislo uz neni vynulovane for ($i=1;($exp = $value*$i) < $max;$i++) { // vynuluju vsechny nasobky aktualniho cisla $numbers[$exp] = null; } $primes[] = $value; // pridam si zjistene prvocislo do vystupu } } return $primes; }