Euklidovy Základy

Titulní strana překladu Euklidových Základů do latiny od Adelarda z Bath. 1309–1316

Euklidovy Základy nebo pouze Základy (řecky Στοιχεΐα, Stoicheia), jejichž autorem je Euklides z Alexandrie, byly až do druhé poloviny 19. století po bibli nejvíce rozšířeným dílem světového písemnictví. Jeho dílo nám podává přehled o matematických znalostech Řeků ke konci 4. století před Kristem. Základy jsou učebnicí matematiky, která se skládá z 13 kapitol, které jsou nazývány knihy. Dnes víme, že tyto knihy pocházejí od několika autorů a jsou založeny zčásti na starších zdrojích. Euklid tato díla systematizoval a vydal.

[editovat] Témata

V tomto soupisu je přehled témat, jak se vyskytují v jednotlivých knihách (v závorce je zdroj, ze kterého Euklides pravděpodobně čerpal):

• • 1. kniha: pojednání o základech geometrie, rovnoběžkách, trojúhelnících a rovnoběžnících, končí důkazem Pythagorovy věty (pramen Pythagorejci)
  • 2. kniha: pojednání o planimetrii - za požití geometrické algebry (Pythagorejci)
  • 3. kniha: pojednání o kružnici a kruhu (Pythagorejci)
  • 4. kniha: pojednání o tětivových a tečnových mnohoúhelnících a kružnici vepsané a opsané (Pythagorejci)
  • 5. kniha: pojednání o poměrech (Eudoxidos z Knidu)
  • 6. kniha: pojednání o geometrické podobnosti (pramen neznámý)
  • 7. kniha: pojednání o teorii čísel - ta je budována pomocí geometrie a délek úseček (Pythagorejci)
  • 8. kniha: pokračování pojednání o teorii čísel (Pythagorejci)
  • 9. kniha: teorie čísel - prvočísla, důkaz, že prvočísel je nekonečně mnoho (Pythagorejci)
  • 10. kniha: teorie iracionálních čísel (Theaitetos)
  • 11. kniha: stereometrie - pojednání o geometrii těles
  • 12. kniha: pojednání o povrchu a objemu těles (Eudoxidos z Knidu)
  • 13. kniha: pojednání o pravidelných (Platonských) tělesech (Theaitetos)

[editovat] Historie

Nejstarší dochovaný rukopis pochází z Byzance z roku 888 a dnes je uložen v Bodleian Library (Oxford). Starší překlad Boethiův z řečtiny do latiny (kolem 500) se dodnes zachoval jen zčásti. Z početných arabských překladů a komentářů byly významné obzvlášť překlady al-Haggaga na konci 8. století a Ishaqa ibn Hunaina/Thabit ibn Qurra (konec 9. století), případně Nasira Al-din al-Tusi (1248).
Za první středověký překlad Základů do latiny vděčíme Angličanu Adelardu von Bath. Euklidovy základy přeložil někdy kolem roku 1120 z arabštiny. Nezávisle na něm pak byly Základy ve stejném století dvakrát přeloženy ve Španělsku Hermannem von Kärnten a Gerhardem von Cremona. Také v 12. století, avšak na jihu Itálie nebo na Sicílii vznikl od neznámého autora další překlad z řečtiny. Podle stylu překladu se domníváme, že tento neznámý autor přeložil též kolem roku 1160 Ptolemaův Almagest.
Euklidovy Základy přirozeně patřily k prvním knihám, které byly vytištěny. První tisk připravoval Regiomontanus kolem roku 1460, ale k tisku nedošlo. Kompletní překlad z řečtiny od Zambertiho pak byl vytištěn v roce 1505. Od té doby byly vytištěny ještě některé důležité práce: překlad od Commandina z řečtiny (1572), podrobně komentované vydávní od Christophera Clavia (1574), překlad od F. Peyrarda do francouzštiny (1814-1818), překlad (první části) od Xu Guangqi a Mattea Ricciho do čínštiny (1607).
Česky tato kniha vyšla naposledy v roce 1906.

[editovat] Zpracování

Fragment papyru z Oxyrhynchos s částí Euklidových Základů z let 75 - 125 po Kr.(P.Oxy. I 29).

Dílo zpracovává základy geometrie a aritmetiky. Většina závěrů je odvozena z omezené zásoby definic, postulátů a axiómů. Toto dílo se stalo vzorem pro exaktní vědy a ovlivnilo mnoho vědců v jejich snaze vystavět jejich vědy deduktivně na axiomech.

Ukázka, jak je vystavěna 1. kniha
Euklides nejdříve začíná 23 základními definicemi, v nichž zavádí základní geometrické pojmy:

• Definice 1.: Bod je to, co nemá části.
  
• Definice 2.: Čára je délka bez šířky.
  
• Definice 3.: Na koncích čáry jsou body.
  
• Definice 4.: Přímka je čára který leží rovnoměrně s body sama na sobě.
  
• Definice 5.: Plocha je to, co má pouze délku a šířku.
  

atd.

Pak následují tzv. Euklidovy postuláty (někdy nazývané axiomy):

• 1. postulát: Máme-li dány dva body, existuje jedna přímka, která jimi prochází.
  
• 2. postulát: Každá úsečka může být prodloužena tak, že vznikne opět úsečka.
  
• 3. postulát: Je možné nakreslit kružnici s libovolným středem a poloměrem.
  
• 4. postulát: Všechny pravé úhly jsou si rovny.
  
• 5. postulát: K danému bodu a přímce lze sestrojit právě jednu rovnoběžku, která prochází daným bodem. (tzv. postulát rovnoběžnosti)
  

Pak následují axiomy týkající se měření:
Např.:

• Jestliže se tři geometrické útvary rovnají (délkou nebo plochou), pak se rovnají první s druhým, první s třetím a druhý s třetím.
  
• Jestliže se dva geometrické útvary rovnají (délkou nebo plochou) a přidáme ke každému stejné geometrické útvary, pak výsledné utvary se opět rovnají.
  

atd.

A nakonec Euklides končí problémy a tvrzeními, které vycházejí z předchozích definic a axiomů.
Např.:

• 1. problém: Jak sestrojit rovnostranný trojúhelník.
  
• 2. problém: Daným bodem sestrojit úsečku stejné délky, jakou má daná úsečka.
  

. . .

• 47. problém: V pravoúhlém trojúhelníku se obsah čtverce proti pravému úhlu rovná součtu obsahů čtverců u pravého úhlu. (při rozebírání tohoto problému Euklides provádí důkaz Pythagorovy věty)
  
• 48. problém: Jestliže v trojúhelníku obsah čtverce u jedné ze stran se rovná součet obsahů čtverců u zbývajících dvou stran trojúhelníku, pak úhel mezi těmito zbývajícími dvěma stranami je pravý. (Euklides toto tvrzení dokazuje pomocí předchozí věty. Zároveň se zde objevuje formulace, která byla později nazvána Euklidovou větou o výšce)
  

[editovat] Význam Euklidových Základů

Kromě toho, že Euklidovy Základy daly vzor moderní deduktivní výstavbě vědních oborů a byly řadu století učebnicí geometrie, daly také základ vzniku neeuklidovské geometrie. Tu v roce 1829 založil Nikolaj Ivanovič Lobačevskij, když se snažil dokázat pátý Euklidův postulát týkající se rovnoběžek.

[editovat] Odkazy

[editovat] Citace a reference

• Tento článek je zčásti nebo zcela založen na překladu článku Euklids Elemente na německé Wikipedii.
• Anglické zpracování Euklidových Základů na internetu
  
• Informace ČMS č. 61 - vyšly v červnu 2005
  
• Casey,John: The Elements of Euclid, 3. vydání, Londýn 1885
  

[editovat] Související články

• Eukleidés
• Euklidovská konstrukce
• Euklidovská geometrie
• Neeuklidovská geometrie
• Euklidovy postuláty
• Pythagorova věta

[editovat] Externí odkazy

anglicky

• Euklidovy základy ke stažení na projektu Gutenberg