Euler-Lagrangeova rovnice

Euler-Lagrangeova rovnice se také často nazývá Eulerova rovnice nebo Lagrangeova rovnice, protože na této rovnici pracovali Leonhard Euler a Joseph Louis Lagrange současně okolo roku 1755. V oboru variačního počtu se jedná o diferneciální rovnici umožňující nalezení extrému funkcionálu a obvykle bývá užívána při optimalizaci a v mechanice pro odvozování pohybových rovnic různých objektů.

Obsah

1 Popis problému optimalizace
- 1.1 Příklad: „Nejlevnější cesta“
2 Související články
3 Externí odkazy

[editovat] Popis problému optimalizace

Je zadána následující funkce F, která má spojité první parciální derivace.

$F \left( x, y(x), y'(x) \right)$

Aby funkce y(x) představovala extrém následujícího funkcionálu J

$J = \int_a^b F(x, y(x), y'(x)) \, \mathrm{d}x$

musí funkce y(x) splňovat následující obyčejnou diferenciální rovnici zvanou Euler-Lagrangeova rovnice.

$\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial F}{\partial y'} = 0$

[editovat] Příklad: „Nejlevnější cesta“

Úkolem je najít extrém následujícího funkcionálu J při splnění uvedených vazebních (okrajových) podmínek.

$J = \int_0^1 \left[ y'(x)^2 + 12 x y(x) \right] \, \mathrm{d}x$

y (0) = 0

y (1) = 1

V podstatě hledáme takovou trajektorii (množinu bodů $[x; y (x)]$ ) z bodu [0;0] do bodu [1;1], aby určitý integrál podél této křivky byl minimální. Lze si také představit, že funkce $F (x, y, y') = y' 2 + 12 x y$ představuje „penalizaci“ v závislosti na poloze a směru, přičemž úkolem je dostat se do cíle „co nejlevněji“.

Dosazením funkce F do Euler-Lagrangeovy rovnice odvodíme následující obyčejnou diferenciální rovnici.

12 x - 2 y'' = 0

Získanou rovnici můžeme upravit a dvakrát integrovat.

y'' = 6 x

y' = 3 x 2 + c 1

y = x 3 + c 1 x + c 2

Hodnotu integračních konstant c₁ a c₂ vypočteme z okrajových podmínek $y (0) = 0$ a $y (1) = 1$ a získáme tak hledanou funkci $y (x)$ .

c 1 = 0

c 2 = 0

y (x) = x 3

[editovat] Související články

[editovat] Externí odkazy

Významní matematikové v historii (3), Euler + Lagrange: http://natura.eri.cz/natura/2002/4/20020405.html
Variační počet: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~prazak/vyuka/MAF042/kap19.pdf
Prezident, prázdný talíř, Lagrangeovy rovnice a tak vůbec: http://www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/~dolejsi/talir.pdf
Příklad 18, Vačkový mechanismus: http://volt.feld.cvut.cz/vyuka/DMS/priklady/pr_18.html
Úloha 10 - Kyvadlo: http://e-learning.tul.cz/…

Euler-Lagrangeova rovnice v jiných jazycích: English, Español, Français, 日本語, Polski, Русский, Slovenščina, 中文, 粵語

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Euler-Lagrangeova_rovnice“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 28. 8. 2008 v 02:58.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).