Eulerova rovnost

Eulerova rovnost (také Eulerova identita) je základní vzorec komplexní analýzy. Svým jednoduchým elegantním vyjádřením ( $e i π + 1 = 0$ ) a fundamentálním významem připomíná Einsteinovu rovnici (E=mc²).

Obsah

1 Znění
2 Elegantnost vyjádření
3 Odvození
4 Zobecnění
5 Mimo matematiku
6 Související články

[editovat] Znění

Eulerova rovnost je vzorec $e i π + 1 = 0$ ,kde

[editovat] Elegantnost vyjádření

Eulerova rovnost dává do souvislosti tři základní aritmetické operace (součet, součin a mocnina) s pěti základními analytickými konstantami (e, i, π, 0, 1). Přitom se v této rovnosti vyskytuje každá z operací i každá z konstant právě jednou a žádné jiné operace ani konstanty se v ní nevyskytují.

[editovat] Odvození

Eulerův vzorec pro libovolný úhel.

Eulerova rovnost je speciálním případem takzvaného Eulerova vzorce, který říká

$e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!$

pro každé reálné číslo x. Speciálně pro

$x = \pi,\,\!$

dostaneme

$e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!$

Protože

$\cos \pi = -1 \, \!$

$\sin \pi = 0,\,\!$

vyplývá odtud

$e^{i \pi} = -1\,\!$

a převedením na druhou stranu

$e^{i \pi} +1 = 0.\,\!$

[editovat] Zobecnění

Eulerova rovnost je speciálním případem obecnější identity, která říká, že součet n-tých odmocnin z jedné je nulový pro n > 1:

$\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .$

Eulerova rovnost vznikne dosazením n = 2.

[editovat] Mimo matematiku

O slávě Eulerovy rovnosti svědčí i to, že se objevila v seriálu Simpsonovi v epizodě Speciální čarodějnický díl VI v části $H o m e r 3$ . Vzorec vyjadřující Eulerovu rovnost proletí v pozadí chvíli po tom, co Homer vstoupí do třetího rozměru.

[editovat] Související články

Související články obsahuje
Portál Matematika

Eulerova rovnost v jiných jazycích: Català, Deutsch, Ελληνικά, English, Español, Suomi, Français, Galego, עברית, Italiano, 日本語, 한국어, Latina, ‪Norsk (bokmål)‬, Polski, Português, Simple English, Slovenščina, Српски / Srpski, Svenska, ไทย, Tiếng Việt, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Eulerova_rovnost“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 20. 6. 2008 v 22:27.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).