Exaktní diferenciální rovnice

$p(x,y)\mathrm{d}x + q(x,y)\mathrm{d}y = 0 \,$ ,

kde $p (x, y), q (x, y)$ jsou spojité funkce na oblasti $D$ (včetně prvních derivací), označujeme jako exaktní, jestliže levou stranu lze vyjádřit jako totální diferenciál nějaké funkce $F (x, y)$ . V takovém případě platí

$\mathrm{d}F(x,y) = \frac{\part F(x,y)}{\part x}\mathrm{d}x + \frac{\part F(x,y)}{\part y}\mathrm{d}y$

Srovnáním předchozích vztahů tedy platí

$p(x,y) = \frac{\part F(x,y)}{\part x}$

$q(x,y) = \frac{\part F(x,y)}{\part y}$

Ze spojitosti prvých derivací funkcí $p (x, y), q (x, y)$ a jejich vyjádření pomocí parciálních derivací funkce $F (x, y)$ vyplývá rovnost smíšených derivací funkce $F (x, y)$ , tzn.

$\left.\begin{matrix} \frac{\part^2 F(x,y)}{\part y\part x} = \frac{\part p(x,y)}{\part y} \\ \frac{\part^2 F(x,y)}{\part x\part y} = \frac{\part q(x,y)}{\part x}\end{matrix}\right\} \frac{\part p(x,y)}{\part y} = \frac{\part q(x,y)}{\part x}$

Předchozí vztah představuje podmínku exaktnosti dané diferenciální rovnice.

[editovat] Řešení exaktní rovnice

Při řešení exaktní diferenciální rovnice vyjdeme ze vztahů $p(x,y) = \frac{\part F(x,y)}{\part x}, q(x,y) = \frac{\part F(x,y)}{\part y}$ . Integrací těchto vztahů dostaneme

$F(x,y) = \int p(x,y)\mathrm{d}x + f_1(y)$

$F(x,y) = \int q(x,y)\mathrm{d}y + f_2(x)$

Funkce $f 1 (y)$ představuje integrační konstantu, neboť při integraci přes $x$ můžeme považovat $y$ za konstantní. Podobně je tomu pro $f 2 (x)$ ve vztahu k druhé proměnné.

Výslednou funkci $F (x, y)$ , která je řešením exaktní diferenciální rovnice, tedy získáme z předchozích vztahů tak, že oba integrály sečteme, přičemž členy, které se vyskytují v obou integrálech započítáme pouze jednou. Můžeme použít i jinou úvahu, podle které je řešením první integrál, kde za funkci $f 1 (y)$ dosadíme ty členy z druhého integrálu, které závisí pouze na $y$ . Obdobně můžeme za řešení považovat druhý integrál, kde za funkci $f 2 (x)$ dosadíme ty členy z prvního integrálu, které závisí pouze na $x$ .

[editovat] Převední do exaktního tvaru

Pokud není splněna podmínka exaktnosti, tzn. platí $\frac{\part p}{\part y}\neq \frac{\part q}{\part x}$ , pak daná rovnice není exaktní rovnicí. Může však existovat tzv. integrační (integrující) faktor $μ$ , kterým vynásobíme (neexaktní) rovnici, čímž ji převedeme do exaktního tvaru, tzn. dostaneme exaktní rovnici

μ(x, y) p (x, y)d x + μ(x, y) q (x, y)d y = 0

Podmínka exaktnosti má pak tvar

$\frac{\part(\mu p)}{\part y} = \frac{\part (\mu q)}{\part x}$

Integrační faktor vyhovuje podle těchto podmínek exaktnosti rovnici

$\mu(x,y)\left[\frac{\part p(x,y)}{\part y} - \frac{\part q(x,y)}{\part x}\right] = \frac{\part\mu(x,y)}{\part x}q(x,y) - \frac{\part\mu(x,y)}{\part y}p(x,y)$

Nalezení integračního faktoru $μ(x, y)$ z předchozí rovnice je obvykle velmi těžké. V mnoha případech je však možné nalézt faktor $μ$ , který závisí pouze na proměnné $x$ nebo $y$ , tzn. $μ(x)$ nebo $μ(y)$ .

Pokud integrační faktor $μ$ závisí pouze na $x$ , pak $\frac{\part\mu}{\part y}=0$ a tedy výraz $\frac{\frac{\part p}{\part y}-\frac{\part q}{\part x}}{q}$ závisí pouze na $x$ . Integrační faktor $μ(x)$ pak určíme ze vztahu

$\ln|\mu| = \int \frac{\frac{\part p}{\part y}-\frac{\part q}{\part x}}{q}\mathrm{d}x$

Podobně pokud integrační faktor $μ$ závisí pouze na $y$ , tedy $\frac{\part \mu}{\part x}=0$ , bude výraz $-\frac{\frac{\part p}{\part y}-\frac{\part q}{\part x}}{p}$ záviset pouze na $y$ . Integrační faktor $μ(y)$ pak určíme ze vztahu

$\ln|\mu| = -\int \frac{\frac{\part p}{\part y}-\frac{\part q}{\part x}}{p}\mathrm{d}y$

[editovat] Související články

Kategorie: Diferenciální počet | Rovnice

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Exaktn%C3%AD_diferenci%C3%A1ln%C3%AD_rovnice“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 8. 5. 2007 v 13:52.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).