Frekvenční modulace

Principem frekvenční modulace (FM) je závislost okamžitého kmitočtu nosné vlny na změnách amplitudy modulačního signálu. Můžeme říct, že okamžitá úhlová frekvence $Ω(t)$ je funkcí času a mění se v rytmu okamžité výchylky modulačního signálu. Informace je tedy kódována nikoliv změnou amplitudy nebo fáze, ale změnou frekvence nosné vlny. Maximální amplitudě napětí modulačního průběhu $U m$ odpovídá maximální změna kmitočtu nosné, kterou nazýváme frekvenční zdvih a značíme $Δ f$ , čemuž odpovídá úhlová frekvence $ΔΩ$ .

Obsah

1 Matematický popis
2 Spektrum frekvenčně modulovaného signálu
3 Využití
- 3.1 Parametry některých aplikací FM
4 Externí odkazy
5 Podívejte se také

[editovat] Matematický popis

Ukázka časového průběhu frekvenčně modulovaného signálu.

Obecně bude mít nosná vlna následující průběh:

$u_n(t) = U_n \sin (\Omega t + \phi)\,$

kde

U n

je amlituda nosné,

Ω

je úhlová frekvence nosné a

φ

fáze.

V případě frekvenční modulace je funkcí času právě úhlová frekvence

Ω

Úhlovou frekvenci jako harmonickou funkci času můžeme vyjádřit vztahem:

$\Omega(t) = \Omega + \Delta \Omega \cos (\omega t)\,$

kde

ΔΩ

je frekvenční zdvih,

ω

pak úhlový kmitočet modulační vlny.

Po dosazení do rovnice nosné vlny a položením fázového posuvu $φ = 0$ (jeho velikost je konstantní a nemá vliv na výsledek dalších odvození a výpočtů) dostáváme vztah:

$u_n(t) = U_n \sin ((\Omega + \Delta \Omega \cos (\omega t))t) = U_n \sin(\Phi(t,\omega))\,$

kde funkce

Φ(t,ω)

je okamžitá fáze napětí a pro

φ = 0

je integrálem úhlové frekvence

Ω(t)

podle

t

. Platí tedy:

$\Phi(t, \omega) = \int \Omega(t)\, \mathrm{d}t = \int (\Omega + \Delta \Omega \cos (\omega t)) \mathrm{d}t = \Omega t + \frac{\Delta \Omega}{\omega} \sin (\omega t)$

Dále zavádíme parametr zvaný modulační index FM označený $m F M$ :

$m_{FM} = \frac{\Delta \Omega}{\omega} = \frac{2\pi \Delta f}{2\pi f_m}$

kde

Δ f

je frekvenční zdvih a

f m

frekvence modulačního signálu.

Dosazením funkce $Φ(t,ω)$ zpět do rovnice $u_n = U_n \sin(\Phi(t,\omega))\,$ dostáváme obvyklý tvar rovnice frekvenčně modulované vlny:

$u_n = U_n \sin (\Omega t + m_{FM} sin (\omega t))\,$

kde

u n

je okamžitá hodnota napětí modulovaného signálu,

U n

amplituda nosné vlny,

Ω

úhlová frekvence nosné vlny,

m F M

modulační index a

ω

frekvence modulační vlny.

[editovat] Spektrum frekvenčně modulovaného signálu

Úpravou rovnice frekvenčně modulované vlny podle vzorce pro součin argumentů funkce sinus získáme rovnici ve tvaru:

$u_n = U_n (\sin(\Omega t)\cos(m_{FM}\sin(\omega t)) + \cos(\Omega t)\sin(m_{FM}\sin(\omega t)))\,$

Dále platí, že lze provést tento rozvoj:

$\sin(m_{FM} \sin (\omega t)) = 2J_1(M_{FM})\sin(\omega t) + 2J_3(M_{FM})\sin(3\omega t) + 2J_5(M_{FM})\sin(5\omega t) + ... \,$

$\cos(m_{FM} \sin (\omega t)) = J_0(M_{FM}) + 2J_2(M_{FM})\cos(2 \omega t) + 2J_4(M_{FM})\cos(4\omega t) + ...\,$

Vidíme, že vzniká nekonečná řada součinů. Funkce označené jako $J n (m F M)$ jsou Besselovy funkce I. druhu n-tého řádu s argumentem $m F M$ , což je modulační index FM. Dosazením do poslední rovnice a další úpravou podle vzorců pro součiny goniometrických funkcí získáme nekonečnou řadu diskrétních složek o úhlových frekvencích:

$\Omega, \Omega - \omega, \Omega - 2 \omega, \Omega - 3 \omega, \Omega - 4 \omega, \Omega - 5 \omega ... \,$

$\Omega + \omega, \Omega + 2 \omega, \Omega + 3 \omega, \Omega + 4 \omega, \Omega + 5 \omega ... \,$

Spektrum frekvenčně modulovaného signálu pro modulační index 3.3, používaného pro přenos TV zvuku.

Z výše uvedeného rozvoje vyplývá, že frekvenční modulace jednou frekvencí $ω$ vytvoří nekonečně mnoho postranních frekvencí, jež jsou rozmístěny symetricky na obě strany od nosné frekvence ve vzdálenostech daných násobky modulační frekvence $ω$ . Amplitudy nosné vlny i jednotlivých postranních frekvencí jsou dány hodnotami Besselových funkcí I. druhu $J n (m F M)$ a jsou tedy závislé na modulačním indexu. Směrem od nosné tyto amplitudy postupně klesají, nikoliv však monotónně. Pro některé konkrétní hodnoty modulačního indexu mohou jednotlivé složky zcela vymizet (hodnota funkce $J n (m F M)$ je právě nulová). Stejně tak může vymizet i nosná vlna, platí-li, že $J 0 (m F M) = 0$ . Vzhledem ke klesajícím hodnotám amplitud jednotlivých složek klesá jejich vliv na kvalitu přenosu. Pro dostatečně kvalitní přenos pak stačí přenášet pouze několik prvních postranních kmitočtů. Kolik je jich v konkrétním připadě třeba závisí na modulačním indexu a přípustné degradaci přenášeného signálu. Pro kvalitní přenos je třeba modulační index zhruba 3 až 5. Nižší způsobuje větší zkreslení, vyšší zhoršuje odstup signál / šum. Pro zlepšení šumových poměrů se při FM přenosu běžně používá nadzvednutí vyšších frekvencí modulačního spektra (nízkofrekvenční preemfáze a deemfáze).

Potřebná šířka přenosového pásma je závislá na modulačním indexu $m F M$ . Pro hodnotu $m F M = 5$ se uvádí následující empirický vzorec:

$B \geq 2 (\Delta f + f_{max})\,$

kde

Δ f

je frekvenční zdvih a

f m a x

je maximální modulační frekvence.

[editovat] Využití

FM je běžně využívána v pásmu VHF pro kvalitní přenos zvuku. Zvuk u klasických analogových televizních soustav je také přenášen za použití frekvenční modulace, pro komerční i radioamatérské komunikační účely je využívána její úzkopásmová forma. Dalším využitím je FM syntéza, která získala oblibu díky raným syntezátorům a stala se standardním způsobem syntézy zvuku u několika generací zvukových karet. Bez FM by se taktéž neobešel analogový magnetický záznam obrazu, kde je s malým modulačním indexem používána pro snížení oktávového rozsahu zaznamenávaného signálu, a to z cca 18 oktáv na méně než 3 oktávy.

[editovat] Parametry některých aplikací FM

Služba	$f m a x$	$Δ f$	$m F M$
FM rozhlas mono	15 kHz	75 kHz	5
FM rozhlas stereo	53 kHz	75 kHz	1,42
TV zvuk	15 kHz	50 kHz	3,33
Komunikační účely			< 0,5

[editovat] Externí odkazy

Metody frekvenční modulace a demodulace

[editovat] Podívejte se také

Kategorie: Telekomunikace | Modulace

Frekvenční modulace v jiných jazycích: Català, Dansk, Deutsch, English, Español, Euskara, فارسی, Suomi, Français, עברית, Hrvatski, Italiano, 日本語, ភាសាខ្មែរ, 한국어, Bahasa Melayu, Nederlands, ‪Norsk (bokmål)‬, Polski, Português, Русский, Simple English, Slovenčina, Basa Sunda, Svenska, Українська, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Frekven%C4%8Dn%C3%AD_modulace“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 27. 8. 2008 v 15:02.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).