Frenetovy vzorce

Vztahy mezi parametry tečny, hlavní normály a binormály křivky a jejich derivacemi určují tzv. Frenetovy (Frenetovy-Serretovy) vzorce.

Tyto vzorce určují vztahy mezi jednotkovým tečným vektorem $\mathbf{t}$ , jednotkovým vektorem hlavní normály $\mathbf{n}$ a jednotkovým vektorem binormály $\mathbf{b}$ a jejich derivacemi s využitím první křivosti křivky $k 1$ a druhé křivosti $k 2$ .

Obsah

1 Křivka vyjádřená pomocí oblouku
- 1.1 Rovinná křivka
2 Křivka vyjádřená pomocí obecného parametru
- 2.1 Rovinná křivka
3 Související články

[editovat] Křivka vyjádřená pomocí oblouku

Pro křivku vyjádřenou pomocí jejího oblouku $s$ , tzn. $\mathbf{r}=\mathbf{r}(s)$ , kde $\mathbf{r}$ je rádiusvektor bodů křivky, platí

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s} = k_1 \mathbf{n}$

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{n}}{\mathrm{d}s} = -k_1\mathbf{t} + k_2\mathbf{b}$

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{b}}{\mathrm{d}s} = -k_2\mathbf{n}$

kde $k 1$ je první křivost a $k 2$ je druhá křivost.

[editovat] Rovinná křivka

V případě rovinné křivky je druhá křivost nulová, tzn. $k 2 = 0$ a předchozí vztahy se zjednoduší na tvar

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s} = k_1\mathbf{n}$

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{n}}{\mathrm{d}s} = -k_1\mathbf{t}$

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{b}}{\mathrm{d}s} = 0$

[editovat] Křivka vyjádřená pomocí obecného parametru

Je-li křivka vyjádřena pomocí obecného parametru $t$ , tzn. $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$ , kde $\mathbf{r}$ je rádiusvektor bodů křivky, platí

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}t} = k_1\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\mathbf{n}$

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{n}}{\mathrm{d}t} = -k_1\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\mathbf{t} + k_2\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\mathbf{b}$

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{b}}{\mathrm{d}t} = -k_2\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\mathbf{n}$

kde $k 1$ je první křivost a $k 2$ je druhá křivost.

[editovat] Rovinná křivka

V případě rovinné křivky je druhá křivost nulová, tzn. $k 2 = 0$ a předchozí vztahy se zjednoduší na tvar

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}t} = k_1\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\mathbf{n}$

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{n}}{\mathrm{d}t} = -k_1\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\mathbf{t}$

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{b}}{\mathrm{d}s} = 0$

[editovat] Související články

Kategorie: Křivky | Diferenciální geometrie

Frenetovy vzorce v jiných jazycích: العربية, Deutsch, English, Français, 한국어, Русский

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Frenetovy_vzorce“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 18. 11. 2008 v 08:00.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).