Fubiniova věta

Fubiniova věta je matematická věta, která umožňuje vypočítat vícerozměrný integrál pomocí více po sobě jdoucích integrací. Získané integrály pak označujeme jako vícenásobné, tzn. dvojnásobý, trojnásobný atd.

Obsah

1 Věta pro dvojný integrál
2 Elementární oblast
3 Regulární oblast
4 Zobecnění
5 Související články
6 Externí odkazy

[editovat] Věta pro dvojný integrál

Uvažujme dvourozměrnou oblast $Ω$ takovou, že $x \in \langle a,b\rangle$ a $y \in \langle c,d\rangle$ . Na $Ω$ nechť je definována spojitá a omezená funkce $f (x, y)$ . Pokud existuje $\iint_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ , pak platí

$\iint_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_a^b\left[\int_c^d f(x,y)\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x = \int_c^d\left[\int_a^b f(x,y)\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y$

Integrály na pravé straně označujeme jako dvojnásobné.

Dvojnásobné integrály často zapisujeme následujícím způsobem

$\int_a^b\left[\int_c^d f(x,y) \mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x = \int_a^b \mathrm{d}x \int_c^d f(x,y)\mathrm{d}y$

$\int_c^d\left[\int_a^b f(x,y) \mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y = \int_c^d \mathrm{d}y \int_a^b f(x,y)\mathrm{d}x$

Pokud lze na $Ω$ psát $f (x, y) = u (x) v (y)$ , pak podle Fubiniovy věty platí

$\iint_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_a^b u(x)\mathrm{d}x \; \int_c^d v(y)\mathrm{d}y$

[editovat] Elementární oblast

Fubiniovu větu lze použít i v případě, že oblast $Ω$ nemá obdélníkový tvar. V takovém případě zavádíme pojem elementární oblasti vzhledem k ose x, resp. y.

Příklad elementární oblasti vzhledem k ose x.

Elementární oblast vzhledem k ose x je taková oblast, kterou můžeme na osy x omezit konstantními hodnotami, tzn. platí $x \in \langle a,b\rangle$ , zatímco hranice oblasti podél osy y leží mezi funkcemi $g 1 (x), g 2 (x)$ , tzn. $y \in \langle g_1(x),g_2(x)\rangle$ . Příklad elementární oblasti vzhledem k ose x je na obrázku.

Dvojnásobný integrál pro elementární oblast vzhledem ose x pak zapíšeme

$\iint_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_a^b \left[\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x$

Příklad elementární oblasti vzhledem k ose y.

Elementární oblast vzhledem k ose y je taková oblast, kterou můžeme na osy y omezit konstantními hodnotami, tzn. platí $y \in \langle c,d\rangle$ , zatímco hranice oblasti podél osy x leží mezi funkcemi $h 1 (x), h 2 (x)$ , tzn. $x \in \langle h_1(y),h_2(y)\rangle$ . Příklad elementární oblasti vzhledem k ose y je na obrázku.

Dvojnásobný integrál pro elementární oblast vzhledem ose y pak zapíšeme

$\iint_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_c^d\left[\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y$

[editovat] Regulární oblast

Příklad regulární oblasti.

Jako regulární oblast označíme takovou oblast, kterou lze vyjádřit jako sjednocení oblastí elementárních k ose x nebo sjednocení oblastí elementárních k ose y. Příklad regulární oblasti $Ω$ vzniklé z oblastí $Ω 1$ a $Ω 2$ elementárních vzhledem k x, tzn. $\Omega = \Omega_1 \cup \Omega_2$ , je na obrázku. Integrujeme pak přes jednotlivé elementární oblasti $Ω 1,Ω 2$ .

Každá elementární oblast je také regulární oblastí.

[editovat] Zobecnění

Fubiniovu větu lze použít nejen pro dvojné integrály ale také pro další vícerozměrné integrály.

Při výpočtu vícerozměrných integrálů lze samozřejmě použít pravidla jako per partes a substituce. Fubiniova věta slouží pro zvolení pořadí integrace dle jednotlivých proměnných.

[editovat] Související články

Vícerozměrný integrál

[editovat] Externí odkazy

Mathematical Assistant on Web online výpočet dvojnásobného integrálu v kartézských a polárních souřadnicích (včetně zobrazení postupu)

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Fubiniova věta v jiných jazycích: Català, Deutsch, English, Español, Suomi, Français, Italiano, Nederlands, Polski, Русский, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Fubiniova_v%C4%9Bta“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 1. 8. 2008 v 21:49.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).