Gaussova věta

Gaussova věta, nebo též Gaussova-Ostrogradského věta či Věta o divergenci je věta matematické analýzy, která uvádí v souvislost tok vektorového pole A(r) uzavřenou jednoduše souvislou hladkou plochou Σ s integrálem přes objem V plochou uzavřený z divergence daného vektorového pole.

$\oint_\Sigma \mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_V ({\nabla\cdot\mathbf{A}}) \mathrm{d}V$ ,

kde $\nabla \cdot \mathbf{A}$ je divergence vektorového pole A(r), ∇ je operátor nabla a plocha Σ = ∂V je hranice kompaktní množiny V, která je orientována vektorem vnější normály, tzn. $\mathrm{d}\mathbf{S} = \mathbf{n}\mathrm{d}S$ a n je vektor vnější normály plochy, a je regulární a otevřená.

Z fyzikálního hlediska vyjadřuje Gaussova věta skutečnost, že tok vektoru A uzavřenou plochou je roven objemovému integrálu z divergence vektoru A.

Pro skalární veličinu f lze zavést její tok uzavřenou plochou S vztahem

$\int_V \nabla f \mathrm{d}V = \oint_S f \mathrm{d}\mathbf{S}$

Pro tenzorovou veličinu $T i j$ využijeme toho, že po kontrakci je $T i j d S j$ tenzorem prvního řádu. Gaussovu větu pro tenzorovou veličinu pak můžeme vyjádřit jako

$\int_V \mathrm{d}V \frac{\part}{\part x_j} T_{ij} = \oint_S T_{ij} \mathrm{d}S_j$

Kromě uvedených vztahů platí pro vektor A také vztah

$\int_V \mathrm{rot}\, \mathbf{A} \mathrm{d}V = - \oint_S \mathbf{A} \times \mathrm{d}\mathbf{S}$

Integrální věty vektorového počtu

Greenova věta • Gaussova věta • Stokesova věta • Zobecněná Stokesova věta

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Gaussova věta v jiných jazycích: Български, Català, Deutsch, English, Español, Suomi, Français, עברית, Magyar, Íslenska, Italiano, 日本語, Lumbaart, Nederlands, ‪Norsk (bokmål)‬, Polski, Português, Русский, Slovenčina, Svenska, Tiếng Việt, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Gaussova_v%C4%9Bta“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 30. 6. 2008 v 22:00.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).