Generátor pythagorejských čísel

[editovat] Generátor pythagorejských čísel

Generátor pythagorejských čísel jsou matematické funkce pro . Dosazením proměnné, nebo proměnných do funkcí se vypočtou - vygenerují jednotlivé hodnoty pyhtagorejských čísel . Jak proměnné tak i vygenerovaná čísla jsou přirozená čísla.

[editovat] Řešení Pythagorejských čísel

Pythagorejská čísla jsou přirozená čísla ∈{P}, která vyhovují rovnici pravoúhlého trojúhelníku:

Cílem řešení je najít takové funkce s proměnou je ∈{P}, aby vyhovovaly rovnici.
Nejvhodnější jsou takové funkce, které by zahrnovaly všechna možná řešení a byla přitom vyloučena ta řešení, která jsou násobky jiných řešení.

Násobnými řešeními jsou ta řešení, o nichž vypovídají následující matematické vztahy:
Pokud platí

za podmínky, že ∈{P} pak po úpravě

po vykrácení se dochází k základnímu vztahu

[editovat] Klasické řešení

Klasický generátor pythagorejských čísel je funkce kdy ∈(P) a . Existuje ve tvaru:

Protože tento generátor používá dvou proměnných, je velmi variabilní, a tak dává velké množství řešení, ale mnohá řešení jsou násobná.

[editovat] Jiná řešení

Mohou existovat i jiné generátory pythagorových čísel, které pak mají specifické vlastnosti.
Zde uvedené genegátory například dokáží vygenerovat všechny možné kombinace pro definované podmínky, násobné kombinace jsou ale generátorem vynechány.

Za podmínky, že , pak existuje generátor

a za podmínky , potom platí generátor

[editovat] Odvození generátoru pythagorových čísel

Po úpravě rovnice na tvar

můžeme na ni nahlížet jako na kvadratickou funkci , kde hledáme přírůstek této funkce, jež má být roven . Abychom využili vlastností diferenčního počtu, provedeme tyto úpravy:

za podmínek ∈{P}, kde je přírůstek funkce . Pro hledané řešení musí platit rovnice:

[editovat] Řešení pro D_x = 1

Nyní je nutno najít funkci , aby pro všechna řešení platilo x∈{P}. Z předcházejícího vztahu je zřejmé, že musí být sudé, tj. liché, a tak i musí být liché.

Po dosazení

Rekapitulace:

Pro rovnost platí, ale nevyhovuje, protože vychází , což není trojúhelník.
Úprava funkcí:

Po dosazení je konečný výsledek

Důkaz

[editovat] Řešení pro D_x = 2

Nyní je nutno najít funkci , aby pro všechna řešení platilo ∈{P}. Z předcházejícího vztahu je zřejmé, že musí být sudé.

Po dosazení

Rakapitulace:

Pro nabývající hodnotu lichého čísla jsou hodnoty sudá čísla a výsledek je násobkem jiného řešení, což nevyhovuje zadání. Proto se musí odstranit zadání lichých číselných hodnot. Toho se dosáhne touto úpravou funkcí:

Po dosazení se dojte k výsledku

Důkaz:

[editovat] Řešení pro D_x je sudé

Nyní je nutno najít funkci , aby pro všechna řešení platilo ∈{P}. Je zřejmé, že funkce bude mít tvar:

Po dosazení

Rekapitulace:

Porovnáním vztahů se vztahy, které jsou uvedeny v rekapitulaci pro Dx = 2, docházíme ke zjištění, že jedná se o násobek pro všechna čísla . Řešení těmito funkcemi je násobek jiného řešení, a proto nevyhovuje požadavku zadání.

[editovat] Zvláštní hodnoty pro D_x je sudé – odvození klasického řešení

Tato stránka se právě vytváří. Autor děkuje za pochopení.
Vrátíme-li se v úvahách zpět do části Řešení pro Dx je sudé ke vztahu , kde hledáme vhodnou funkci , nastávají zvláštní případy pro hodnotu koeficientu , a to právě tehdy, je-li druhou mocninou přirozeného čísla , tedy je-li naplněna tato podmínka:

pak přechází uvedený vztah na tvar:

Potom hledaná funkce má tvar:

Po dosazení:

Rekapitulace:

Odvozený vztah je klasický generátor pythagorejských čísel o dvou proměnných , jde o funkci .