Grupa

Tento článek pojednává o matematice. O chemii pojednává článek Grupa (periodická tabulka).

Grupa je pojem z oblasti matematiky. Je to algebraická struktura – tj. množina spolu s binární operací splňující níže uvedené axiomy. Matematická disciplína zabývající se studiem grup se nazývá teorie grup.

Pojem grupy abstraktně popisuje či zobecňuje mnoho matematických objektů a má významné uplatnění i v příbuzných oborech – fyzice a informatice. Příklady grup jsou například celá čísla se sčítáním, racionální čísla s násobením, symetrie pravidelných geometrických útvarů, automorfismy různých algebraických struktur…

Obsah

1 Definice grupy
2 Základní grupové pojmy
3 Příklady grup
4 Odkazy
- 4.1 Související články
- 4.2 Externí odkazy

[editovat] Definice grupy

Grupou nazýváme množinu $\mathbb{G}$ spolu s binární operací na ní, která splňuje tři grupové axiomy.

Označíme-li operaci jako sčítání (+), mluvíme o aditivní grupě a píšeme $(\mathbb{G}, +)$ , píšeme-li ji jako násobení ( $\cdot$ ), hovoříme o multiplikativní grupě a píšeme $(\mathbb{G}, \cdot)$ . Na výběru značky pro grupovou operaci nezáleží, jde vždy o tutéž operaci, jen zapisovanou jinak. Obvykle se používá multiplikativní notace pro obecné grupy (neboť lépe odpovídá notaci používané v grupách zobrazení, což jsou hlavní příklady grup) a aditivní notace pro grupy abelovské (toto odpovídá ztotožnění abelovských grup a Z-modulů).

Následující seznam grupových axiomů je uveden pro obě dvě notace – aditivní i multiplikativní:

Axiom	Aditivní notace	Multiplikativní notace
Asociativita:	$a + (b + c) = (a + b) + c\,$	$f \cdot (g \cdot h) = (f \cdot g) \cdot h$
Existence neutrálního prvku:	$(\exists 0) (\forall a) \quad a + 0 = 0 + a = a$	$(\exists e) (\forall g) \quad g \cdot e = e \cdot g = g$
Existence inverzních prvků:	$(\forall a) (\exists b) \quad a + b = b + a = 0$	$(\forall g) (\exists h) \quad g \cdot h = h \cdot g = e$

Snadno lze ukázat, že inverzní prvek k $a$ resp. $g$ , jehož existence je zaručena třetím axiomem, je dán jednoznačně – v aditivním případě ho značíme $- a$ , v multiplikativním $g - 1$ .

Místo $e$ se neutrální prvek v multiplikativním případě značí často také $1$ .

Množina $\mathbb{G}$ z této definice se označuje jako nosič nebo nosná množina grupy.

[editovat] Základní grupové pojmy

[editovat] Abelovská grupa

Podrobnější informace naleznete v článku Abelovská grupa.

Grupu $(\mathbb{G}, +)$ nazýváme abelovskou (také komutativní či Abelovou) , platí-li $a + b = b + a$ pro všechna $a, b \in \mathbb{G}$ .

[editovat] Řád prvku a grupy

Řádem grupy $\mathbb{G}$ se nazývá mohutnost $|\mathbb{G}|$ její nosné množiny.

Řádem prvku $g$ se nazývá nejmenší přirozené číslo $n$ takové, že $g n = e$ nebo $\infty$ , pokud takové $n$ neexistuje.

[editovat] Podgrupa

Podrobnější informace naleznete v článku Podgrupa.

Podgrupou grupy $(\mathbb{G}, \cdot)$ se nazývá každá grupa $(\mathbb{H}, \cdot)$ , taková, že $\mathbb{H}\subseteq\mathbb{G}$ .

Ekvivalentně je podgrupa $(\mathbb{G}, \cdot)$ každá množina $\mathbb{H}\subseteq\mathbb{G}$ , která obsahuje jednotku $e$ a je uzavřená na operace $\cdot$ a ^-1 grupy $(\mathbb{G}, \cdot)$ .

[editovat] Jednoduchá a polojednoduchá grupa

Pokud grupa neobsahuje žádné vlastní normální podgrupy, je označována jako jednoduchá grupa (někdy se též používá prostá grupa).

Pokud grupa neobsahuje žádné vlastní normální abelovské podgrupy, pak je označována jako polojednoduchá grupa (také poloprostá grupa).

[editovat] Příklady grup

množina reálných čísel $\mathbb{R}$ s operací sčítání $(\mathbb{R}, +)$ a její podgrupy racionálních $(\mathbb{Q}, +)$ a celých čísel $(\mathbb{Z}, +)$ jsou abelovské grupy
množina reálných čísel bez nuly s operací násobení $(\mathbb{R}^*, \cdot)$ a její podgrupa racionálních čísel bez nuly $(\mathbb{Q}^*, \cdot)$ jsou abelovské grupy
permutace na množině s operací skládání tvoří grupu, která není obecně (pro mohutnost nosné množiny vetší nebo rovnu 3) abelovská
grupa regulárních matic s operací maticového násobení je obecně neabelovská grupa
cyklické grupy ${\mathbb Z}_n$ s operací sčítání jsou abelovské grupy
množiny polynomů stupně menšího nebo rovného n se sčítáním jsou abelovské grupy
Prüferovy grupy $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ , $p$ prvočíslo jsou abelovské grupy
grupy symetrií pravidelných n-úhelníků jsou obecně neabelovské grupy
Lieovy grupy jsou obecně neabelovské parametrické diferencovatelné grupy
vektorové prostory (s opomenutým skalárním násobením) jsou abelovské grupy

[editovat] Odkazy

[editovat] Související články

[editovat] Externí odkazy

Kategorie: Teorie grup | Algebraické struktury

Grupa v jiných jazycích: Afrikaans, العربية, Azərbaycan, Български, Català, Cymraeg, Dansk, Ελληνικά, English, Esperanto, Español, Eesti, فارسی, Suomi, Français, עברית, Hrvatski, Magyar, Bahasa Indonesia, Íslenska, Italiano, 日本語, 한국어, Lietuvių, Nederlands, ‪Norsk (bokmål)‬, Novial, Occitan, Polski, Piemontèis, Português, Română, Русский, Sicilianu, Slovenčina, Slovenščina, Српски / Srpski, Svenska, தமிழ், ไทย, Türkçe, Українська, West-Vlams, 中文, 文言

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Grupa“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 7. 10. 2008 v 08:34.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).