Grupová rychlost

Grupová rychlost ve fyzice je rychlost přenosu energie vlněním. Přenosem energie se mohou šířit signály, takže grupová rychlost nemůže být větší než rychlost světla ve vakuu (na rozdíl od fázové rychlosti). Můžeme ji určovat pro nejrůznější druhy mechanického i nemechanického vlnění: vlny na vodě, seizmické vlny při zemětřesení, světlo ve skle, zvuk, elektromagnetické vlny v plazmatu a podobně. V kvantové mechanice se pohyb částice popisuje pomocí vln, jejichž grupová rychlost odpovídá klasické rychlosti částice.

Obsah

1 Definice
2 Příklady
- 2.1 Prostředí bez disperze
- 2.2 Vlny na hluboké vodě
3 Související články
4 Reference

[editovat] Definice

Grupová rychlost $v g$ je určena vztahem

$\mathbf{v}_{\mathrm g} \equiv {\partial\omega \over \partial \mathbf{k}} \,,$

kde $ω = 2π f$ je úhlová frekvence a $\mathbf{k}$ je vlnový vektor. (Značka $\partial$ znamená parciální derivaci.) Odhlédneme-li od směru šíření vln, lze velikost grupové rychlosti počítat poněkud jednodušeji podle vztahu

$v_{\mathrm g} = {\partial\omega \over \partial k}\,,$

kde $k = 2π / λ$ je vlnové číslo a $λ$ je vlnová délka. Vztah mezi $ω$ a $k$ udává disperzní relace, která charakterizuje chování daného typu vln v daném prostředí.

Je vidět, že grupová rychlost obecně závisí na vlnové délce, takže vlny různých frekvencí se mohou šířit různě rychle. Není-li vlna monofrekvenční, tj. skládá-li se z více harmonických postupných vln různých frekvencí, pak vlny vytvářejí skupiny – grupy, kterým se v češtině říká vlnový balík nebo vlnové klubko. Grupová rychlost udává rychlost šíření celého balíku. Vlny s větší fázovou rychlostí zdánlivě vznikají na konci balíku, šíří se po něm dopředu a na předním konci zanikají.

Obrázek ilustruje situaci pro případ dvoufrekvenční vlny na hluboké vodě. Červená tečka se pohybuje fázovou rychlostí. Zelená tečka se pohybuje zároveň s balíkem grupovou rychlostí, která je v tomto případě poloviční oproti fázové.

[editovat] Příklady

[editovat] Prostředí bez disperze

Nedochází-li k disperzi, šíří se vlny všech délek stejnou rychlostí. Platí to například pro elekromagnetické vlny ve vakuu. Disperzní relace pak říká, že úhlová rychlost je přímo úměrná vlnovému vektoru:

$\omega = ck\,.$

Konstanta úměrnosti $c$ má zjevně význam grupové rychlosti, protože

$v_{\mathrm g} = {\partial ck \over \partial k} = c {\partial k \over \partial k} = c\,.$

Fázová rychlost je v tomto případě stejná jako grupová, protože $v_{\mathrm f} \equiv {\omega\over k} = c$ .

[editovat] Vlny na hluboké vodě

Neuvažujeme-li povrchové jevy a je-li hloubka vody $d > λ / 2$ , platí pro vlny na vodě disperzní relace^[1]

$\omega^2 = gk \,,$

kde $g$ je tíhové zrychlení. Vyjádříme-li odtud úhlovou frekvenci

$\omega = \sqrt{gk}\,,$

můžeme dle definice spočítat grupovou rychlost.

$v_{\mathrm g} = {\partial \sqrt{gk} \over \partial k} = \sqrt{g} {\partial \sqrt{k} \over \partial k} = {1\over 2} \sqrt{g\over k} \,.$

Fázová rychlost pro tento případ vychází $v_{\mathrm f} \equiv \omega/k = \sqrt{g/k}$ , což je dvojnásobek grupové rychlosti. Protože $k$ je nepřímo úměrné vlnové délce $λ$ , je vidět, že obě rychlosti jsou přímo úměrné $\sqrt{\lambda}$ . Delší vlny se tedy na vodě šíří rychleji. Tomu říkáme normální disperze. Naproti tomu při tzv. anomální disperzi by rychlost delších vln vyšla menší než rychlost kratších vln.

[editovat] Související články

[editovat] Reference

↑ Dr. Howard Waldron, Coastal Oceanography, lekce 1. Je-li $d > λ / 2$ , je $d k > π$ a hyperbolický tangens je dostatečně přesně roven 1, takže jej lze škrtnout.

Kategorie: Vlnění | Rychlost

Grupová rychlost v jiných jazycích: Deutsch, English, Español, עברית, Italiano, 日本語, Lietuvių, Nederlands, ‪Norsk (nynorsk)‬, ‪Norsk (bokmål)‬, Polski, Русский, Simple English, Slovenščina, Українська, Tiếng Việt, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Grupov%C3%A1_rychlost“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 26. 10. 2008 v 07:17.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).