Hamiltonův princip

Hamiltonův princip označuje ve fyzice alternativní formulaci diferenciálních pohybových rovnic fyzikálního systému prostřednictvím ekvivalentních integrálních rovnic získaných pomocí variačního počtu. Tento princip bývá také často označován jako princip nejmenší akce.

Ačkoliv jeho původní formulace byla určena pouze pro klasickou mechaniku, lze jej použít také pro klasická pole (např. elektromagnetické nebo gravitační pole) a byl také rozšířen pro použití v dalších oblastech, např. kvantové mechanice nebo kvantové teorii pole.

[editovat] Formulace principu

Hamiltonův princip říká, že vývoj fyzikálního systému, který je popsán $n$ zobecněnými souřadnicemi $\mathbf{q} = \left( q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n} \right)$ mezi dvěma danými stavy $\mathbf{q}_{1} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{q}(t_{1})$ a $\mathbf{q}_{2} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{q}(t_{2})$ v časech $t 1$ a $t 2$ , je extrémem (tzn. stacionárním bodem - minimem, maximem nebo sedlovým bodem) funkcionálu akce, který lze zapsat jako

$\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \int_{t_{1}}^{t_{2}} \mathcal{L}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\, \mathrm{d}t$ ,

kde $\mathcal{L}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)$ je Lagrangeova funkce systému.

K nalezení tohoto extrému se používají metody variačního počtu. Z tohoto pohledu představuje Hamiltonův princip nalezení řešení funkcionální rovnice

$\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \mathbf{q}(t)}=0$

V klasické mechanice jde vždy o nalezení minima akčního funkcionálu, proto se tento princip také označuje jako princip nejmenší akce.

[editovat] Přechod k Lagrangeovým pohybovým rovnicím

Předpokládejme, že $\mathbf{q}(t)$ jsou zobecněné souřadnice popisující vývoj systému ze stavu $\mathbf{q}_{1} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{q}(t_{1})$ v čase $t 1$ do stavu $\mathbf{q}_{2} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{q}(t_{2})$ v čase $t 2$ . Dále předpokládejme, že $\boldsymbol\varepsilon(t)$ je malá porucha, která je nulová v krajních bodech trajektorie, tzn.

$\boldsymbol\varepsilon(t_{1}) = \boldsymbol\varepsilon(t_{2}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 0$

Variaci akce $\delta\mathcal{S}$ se započtením této poruchy lze vyjádřit jako

$\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \left[ \mathcal{L}(\mathbf{q}+\boldsymbol\varepsilon,\dot\mathbf{q} +\dot\boldsymbol\varepsilon)- \mathcal{L}(\mathbf{q},\dot\mathbf{q}) \right]\mathrm{d}t = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \left( \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{q}} + \dot\boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,\mathrm{d}t$

Vyjádříme-li poslední člen integrací per partes, dostaneme

$\delta \mathcal{S} = \left[ \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot\mathbf{q}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}} + \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \left( \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{q}} - \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,\mathrm{d}t$

V důsledku okrajových podmínek $\boldsymbol\varepsilon(t_{1}) = \boldsymbol\varepsilon(t_{2}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 0$ vymizí první člen a zůstane pouze

$\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \boldsymbol\varepsilon \cdot \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{q}} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,\mathrm{d}t$

Podle Hamiltonova principu má být variace $\delta \mathcal{S}$ nulová pro libovolnou poruchu $\boldsymbol\varepsilon(t)$ , tzn. hledaná trajektorie v prostoru zobecněných souřadnic je stacionárním bodem funkcionálu akce $\mathcal{S}$ (tedy buď minimum, maximum nebo sedlový bod). Tento požadavek může být splněn pouze tehdy, pokud platí

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{q}} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot\mathbf{q}} = 0$

To je však Eulerova-Lagrangeova rovnice vyjadřující Lagrangeovy pohybové rovnice.

[editovat] Související články

Tento fyzikální článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Kategorie: Mechanika | Variační počet

Hamiltonův princip v jiných jazycích: Deutsch, English, עברית, Bahasa Indonesia, Polski, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Hamilton%C5%AFv_princip“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 26. 6. 2008 v 19:18.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).