Harmonické kmitání

(Přesměrováno z Harmonický děj, přímý odkaz na Harmonické kmitání)

Harmonické kmitání (harmonický děj, někdy se také hovoří o sinusovém kmitání) je speciálním případem kmitání periodického.

Těleso vykonávající harmonické kmity se nazývá harmonickým oscilátorem.

Obsah

1 Matematické vyjádření
2 Vlastnosti
3 Harmonický pohyb
- 3.1 Kinematika harmonického pohybu
  - 3.1.1 Krajní polohy, rovnovážná poloha
- 3.2 Dynamika harmonického pohybu
  - 3.2.1 Energie harmonického kmitavého pohybu
4 Související články

[editovat] Matematické vyjádření

Při harmonickém kmitání veličina $X$ , která kmitavý děj popisuje splňuje nejen podmínku periodického kmitání

X (t) = X (t + T)

ale musí pro ni platit

$X(t) = A\sin(\omega t+\varphi_0) =A\sin\varphi+X(0)$ ,

kde $\varphi=\omega t+\varphi_0$ se nazývá fází, a $\varphi_0$ je označováno jako počáteční fáze a $ω > 0$ je označováno jako úhlová (kruhová) frekvence. Funkce $X (t)$ pak představuje harmonickou funkci (při mechanickém kmitání může tato funkce představovat např. vzdálenost od pevně zvoleného bodu), přičemž $X (0)$ je její hodnota v čase $t = 0$ .

Není-li možno vyjádřit periodický kmitavý děj uvedeným vztahem , jedná se o kmitání anharmonické.

[editovat] Vlastnosti

Pomocí vztahů mezi goniometrickými funkcemi lze funkci $X (t)$ upravit na

X (t) = a sinω t + b cosω t + X (0)

přičemž platí vztahy

$a = A\cos\varphi_0$

$b = A\sin\varphi_0$

$A = \sqrt{a^2+b^2}$

$\operatorname{tg}\varphi_0 = \frac{b}{a}$

[editovat] Harmonický pohyb

Harmonický kmitavý pohyb mechanické soustavy se označuje jako harmonický pohyb.

[editovat] Kinematika harmonického pohybu

Harmonický kmitavý pohyb si lze představit jako průmět rovnoměrného pohybu bodu po kružnici (o poloměru y_m) na kolmou průmětnu. Průmět okamžité polohy bodu na kružnici udává okamžitou výchylku kmitajícího bodu y. Průmět vektoru obvodové rychlosti v_o udává vektor okamžité rychlosti kmitajícího bodu v. Průmět vektoru dostředivého zrychlení bodu na kružnici a_d udává vektor okamžitého zrychlení kmitajícího bodu a.

Úhlová rychlost bodu na kružnici, tedy úhlová frekvence kmitajícího bodu je

$\omega = \frac{\varphi}{t} = 2\pi f = 2\pi \frac{1}{T}$

Okamžitá výchylka y kmitajícího bodu v čase t je dána vztahem

$y = y_m \sin \omega t \,$

Okamžitá rychlost v kmitajícího bodu v čase t je

$v = \omega y_m \cos \omega t \,$

Pro okamžité zrychlení a kmitajícího bodu v čase t platí

$a = - \omega^2 y_m \sin \omega t = - \omega^2 y \,$

Tento vztah lze přepsat ve tvaru diferenciální rovnice harmonického pohybu

$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} + \omega^2 y = 0$

Tato rovnice představuje diferenciální rovnici harmonického kmitání.

[editovat] Krajní polohy, rovnovážná poloha

Pro krajní polohy (tedy body nejvíce vzdálené od rovnovážné polohy) platí vztahy

$v = 0 \,$

$a = \pm{a_d} = \pm \omega^2y_m$

Poloha, ve které jsou síly působící na kmitající hmotný bod v rovnováze (a ve které se hmotný bod po utlumení kmitů zastaví), se nazývá rovnovážná poloha. U výše zmiňované pružiny se jedná o stav, kdy tíha působící na hmotný bod a síla pružiny jsou stejně veliké ale opačné. V takové poloze je výsledná síla nulová, tím je podle druhého Newtonova zákona nulové i zrychlení, a platí:

$v = \omega y_m \,$

$a = 0 \,$

[editovat] Dynamika harmonického pohybu

Harmonický pohyb koná netlumeně kmitající hmotný bod o hmotnosti m zavěšený na pružině o tuhosti k, jedná se tak o mechanický oscilátor. Výsledná síla působící na kmitající hmotný bod je přímo úměrná okamžité výchylce a směřuje vždy do rovnovážné polohy, tzn.

$F = - ky \,$

Tato rovnice představuje pohybovou rovnici kmitavého pohybu. Podle druhého pohybového zákona uděluje síla $F$ tělesu určité zrychlení $a$ . Vynásobením diferenciální rovnice kmitavého pohybu hmotností $m$ tělesa lze předchozí vztah upravit jako

$F = ma = m\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} = -m\omega^2 y = -ky$ ,

kde $m$ je hmotnost kmitajícího hmotného bodu (tělesa), $y$ je okamžitá výchylka a konstanta $k = m ω 2 > 0$ se nazývá tuhost soustavy (vazby) (např. u pružiny se hovoří o tuhosti pružiny).

Z dynamického hlediska je tedy příčinou harmonického kmitavého pohybu síla, která je úměrná okamžité výchylce z rovnovážné polohy. Síla směřuje do rovnovážné polohy (působí tedy proti výchylce). Kmity, které vznikají jen vlivem takovéto síly se nazývají vlastní kmity.

Z hlediska energetického lze harmonický pohyb považovat za pohyb hmotného bodu v potenciálním poli, v němž je tento hmotný bod uzavřen.

[editovat] Energie harmonického kmitavého pohybu

Kinetickou energii, kterou má hmotný bod vykonávající harmonický kmitavý pohyb, lze vyjádřit ve tvaru

$E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2y_m^2\cos^2\omega t = 2\pi^2my_m^2f^2\cos^22\pi ft = \frac{1}{4}my_m^2\omega^2(1+\cos2\omega t) = \pi^2my_m^2f^2(1+\cos4\pi ft)$ ,

kde $m$ je hmotnost kmitajícího tělesa (hmotného bodu), $f$ je frekvence, $ω$ je úhlová frekvence kmitů, $y m$ je amplituda kmitů a $y$ je výchylka hmotného bodu z rovnovážné polohy.

Mechanická práce, kterou je třeba vykonat k vychýlení hmotného bodu z rovnovážné polohy je rovna (záporné) změně potenciální energie vychýleného tělesa vzhledem k rovnovážné poloze.

E p = - W

Tuto práci lze získat ze vztahu

$W = \int F\mathrm{d}y = -\int m\omega^2y\mathrm{d}y = -\frac{1}{2}m\omega^2y^2$

Potenciální energii lze tedy vyjádřit ve tvaru

$E_p = \frac{1}{4}my_m^2\omega^2(1-\cos 2\omega t) = \pi^2my_m^2f^2(1-\cos4\pi ft)$

Pro celkovou mechanickou energii $E$ pak platí

$E = E_k + E_p = \frac{1}{2}my_m^2\omega^2(\sin^2\omega t+\cos^2\omega t) = \frac{1}{2}my_m^2\omega^2 = 2\pi^2my_m^2f^2$

Celková mechanická energie kmitavého pohybu se tedy v průběhu harmonického kmitavého pohybu nemění, což odpovídá zákonu zachování energie.

[editovat] Související články

Tento fyzikální článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Kategorie: Periodické děje

Harmonické kmitání v jiných jazycích: العربية, Bosanski, Català, Dansk, Deutsch, English, Español, Suomi, Français, Galego, עברית, Hrvatski, Italiano, 日本語, 한국어, Nederlands, ‪Norsk (bokmål)‬, Polski, Português, Русский, Slovenščina, Svenska, Українська, Tiếng Việt, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Harmonick%C3%A9_kmit%C3%A1n%C3%AD“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 8. 9. 2008 v 07:48.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).