Hausdorffova míra

Hausdorffova míra (dále značím $\bold{H}^s$ ) je "nížedimenzionální" mírou na $\mathbb{R}^n$ , která nám dovoluje měřit jisté "velmi malé" podmnožiny $\mathbb{R}^n$ . Základní myšlenkou je, že množina $\bold{A}$ je "s-dimenzionální" podmnožina množiny $\mathbb{R}^n$ , platí-li

$0<H^s(A)<\infty$

, i když $\bold{A}$ je velmi komplikovaná. $\bold{H}^s$ je definovaná jako výraz obsahující součet průměrů dobrého spočetného pokrytí.

[editovat] Definice Hausdorffovy míry

Definice: Nechť $\bold{A}\subset\mathbb{R}^n,0\leq s<\infty, 0<\delta\leq\infty$ Definujme

$(i)\bold{H}^s_\delta(A)=\inf\{\sum^{\infty}_{i=1} \alpha(s)(\frac{diam(C_i)}{2})^s | A\subset{\cup^\infty_{j=1}C_j}, diam(C_j)\leq\delta\},$

kde

$\alpha(s)=\frac{\pi^{\frac{s}{2}}}{\Gamma(\frac{s}{2}+1)}$

tady

$\Gamma(r)=\int_0^\infty e^{-x}x^{r-1}dx,(0<r<\infty),$

je obyčejná gamma funkce.

$\bold(ii)$ Pro $\bold{A}$ a $\bold{s}$ s vlastnostmi jako výše, definujme:

$H^s(A)=\lim_{\delta \to 0}H^s_\delta(A)=\sup_{\delta>0}H^s_\delta(A)$

$\bold{H}^s$ nazveme s-dimenzionální Hausdorffovou mírou na $\mathbb{R}^n$ .

[editovat] Elementární vlastnosti Hausdorffovy dimenze

$\bold{H}^s$ je Borelova regulární míra pro $0\leq s<\infty$ , není ale Radonova míra.
Z toho plyne následující:

$(i)\bold{H}^s_\delta$ je míra.
$(ii)\bold{H}^s$ je míra.
$(iii)\bold{H}^s$ je Borelova míra.

Další zajímavé vlastnosti:

$(i)\bold{H}^0$ je čítací míra.
$(ii)\bold{H}^1=\bold{L}^1$ na $\mathbb{R}^n$ , kde $\bold{L}^1$ je Lebesgueova míra.
$(iii)\bold{H}^s=0$ na $\mathbb{R}^n$ pro všechna $\bold{s>n}$ .
$(iv)\bold{H}^s(\lambda A)=\lambda^s \bold{H}^s(A)$ pro všechna $\lambda>0, A\subset\mathbb{R}^n$ .
$(v)\bold{H}^s(L(A))=\bold{H}^s(A)$ pro všechny afinní isometrie $L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n, A\subset\mathbb{R}^n$ .

[editovat] Literatura

Steven G. Krantz: Measure Theory and Fine Properties of Functions,
CRC Press LLC, London 2000, ISBN 0-8493-7157-0.

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Hausdorffova míra v jiných jazycích: Български, Deutsch, English, Suomi, Français, עברית, Italiano, Polski, Português, Română, Русский, Slovenščina, Svenska, Українська, اردو, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Hausdorffova_m%C3%ADra“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 19. 8. 2008 v 22:00.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).