Heronův vzorec - Encyklopedie - Portál divoch.net

Hledat:

Invia.cz Pojeďte do Egypta Kanárské ostrovy Dovolená - Turecko Dominikánská republika Madeira Last minute
 

Heronův vzorec

Heronův vzorec je vzorec pro výpočet obsahu obecného trojúhelníku (v euklidovské rovině), pomocí délek jeho stran.

Vzorec[editovat | editovat zdroj]

Jsou-li délky stran trojúhelníka, platí pro jeho obsah

kde je poloviční obvod trojúhelníka.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Heronuv vzorec small.png

Označme x vzdálenost vrcholu B od paty kolmice z vrcholu A na stranu a (výšky). Pro ostroúhlý trojúhelník na obrázku platí:





Odečteme-li od druhé rovnice první, dostaneme:



Z tohoto vztahu vyjádříme x:



Toto platí i v pravoúhlém trojúhelníku, v tupoúhlém s opačným znaménkem. Jestliže za x dosadíme do první rovnice, získáme výšku v:











Dosadíme-li tuto výšku do vzorce pro obsah trojúhelníku



dostaneme



Dále pomocí rozkladů upravíme výraz pod odmocninou:







Dosadíme poloviční obvod s,



a dostáváme výsledný vzorec:







Historie[editovat | editovat zdroj]

Vzorec byl formulován Hérónem z Alexandrie a důkaz byl publikován v jeho knize Métrika, napsané v roce 60 př. n. l.[1]

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

Kratší důkaz je možný pomocí kosinové věty.

Heronův vzorec je limitním případem Brahmaguptova vzorce pro obsah tětivového čtyřúhelníku.

Obsah trojúhelníku je symetrická kvadraticky homogenní funkce jeho stran, H. v. ukazuje její konkrétní tvar.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

 
Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „https://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Heronův_vzorec&oldid=16203241
Stránka byla naposledy upravena 28. 6. 2018 v 13:05. Editovat celý článek Heronův vzorec.
Text je dostupný pod licencí Creative Commons Uveďte autora – Zachovejte licenci 3.0 Unported, případně za dalších podmínek. Podrobnosti naleznete na stránce Podmínky užití.
Další služby: Portál | Katalog | Hledej | Zprávy | Počasí | Kurzy | Práce | Slovník | TV | Online hry | Java hry | SMS | Loga a melodie | Chat | Fórum | Kontakt | Set-top-boxy