Hledat:

Invia.cz Pojeďte do Egypta Kanárské ostrovy Dovolená - Turecko Dominikánská republika Madeira Last minute
 

Heronův vzorec

Heronův vzorec je vzorec pro výpočet obsahu obecného trojúhelníku (v euklidovské rovině), pomocí délek jeho stran.

Vzorec[editovat | editovat zdroj]

Jsou-li délky stran trojúhelníka, platí pro jeho obsah

kde je poloviční obvod trojúhelníka.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Heronuv vzorec small.png

Označme x vzdálenost vrcholu B od paty kolmice z vrcholu A na stranu a (výšky). Pro ostroúhlý trojúhelník na obrázku platí:





Odečteme-li od druhé rovnice první, dostaneme:



Z tohoto vztahu vyjádříme x:



Toto platí i v pravoúhlém trojúhelníku, v tupoúhlém s opačným znaménkem. Jestliže za x dosadíme do první rovnice, získáme výšku v:











Dosadíme-li tuto výšku do vzorce pro obsah trojúhelníku



dostaneme



Dále pomocí rozkladů upravíme výraz pod odmocninou:







Dosadíme poloviční obvod s,



a dostáváme výsledný vzorec:







Historie[editovat | editovat zdroj]

Vzorec byl formulován Hérónem z Alexandrie a důkaz byl publikován v jeho knize Métrika, napsané v roce 60 př. n. l.[1]

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

Kratší důkaz je možný pomocí kosinové věty.

Heronův vzorec je limitním případem Brahmaguptova vzorce pro obsah tětivového čtyřúhelníku.

Obsah trojúhelníku je symetrická kvadraticky homogenní funkce jeho stran.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

 
Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „https://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Heronův_vzorec&oldid=15755189
Stránka byla naposledy upravena 17. 1. 2018 v 20:44. Editovat celý článek Heronův vzorec.
Text je dostupný pod licencí Creative Commons Uveďte autora – Zachovejte licenci 3.0 Unported, případně za dalších podmínek. Podrobnosti naleznete na stránce Podmínky užití.
Další služby: Portál | Katalog | Hledej | Zprávy | Počasí | Kurzy | Práce | Slovník | TV | Online hry | Java hry | SMS | Loga a melodie | Chat | Fórum | Kontakt | Set-top-boxy