Ideál (algebra)

Tento článek je o algebraickém pojmu. Pokud chcete znát jiné významy, podívejte se na rozcestník.

Ideál je matematický pojem z oblasti algebry označující podmnožinu nějakého okruhu s jistými „dobrými“ vlastnostmi.

[editovat] Definice

Množina , kde R je okruh, se nazývá levý resp. pravý ideál, má-li následující vlastnosti:

• pro každé je také
• pro každé a každé je také resp.

Je-li ideál zároveň levý i pravý, nazývá se oboustranný ideál, nebo prostě jen ideál.

[editovat] Příklady ideálů

• V každém okruhu R jsou množiny {0} a R ideály. Tyto ideály se nazývají triviální ideály v R. Ideál, který není triviální se nazývá netriviální nebo také vlastní.
• Každá podmnožina tvaru je ideál v R. Ideály tvaru (a) se nazývají hlavní ideály v R.
• V okruhu celých čísel je množina všech sudých čísel ideálem, konkrétně hlavním ideálem (2).

[editovat] Operace s ideály

• průnik ideálů I,J je ideál , který je největším ideálem, obsaženém v obou ideálech I,J.
• součet ideálů I,J je ideál , který je nejmenším ideálem obsahujícím oba ideály I,J.
• součin ideálů I,J je ideál

[editovat] Vlastnosti

• Ideál I v okruhu R se nazývá maximální ideál, je-li a pro každý ideál J, že , je I = J nebo J = R.
• Ideál I v okruhu R se nazývá prvoideál, jestliže pro každé takové, že , je buďto nebo .

Platí věta: Každý maximální ideál je prvoideál. Opačné tvrzení v obecném případě neplatí, tj. existují prvoideály, které nejsou maximální. Pokud však R je číselný okruh (tj. podokruh okruhu komplexních algebraických celých čísel), je každý prvoideál v R maximálním ideálem.

• Ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu opět okruh.
• Prvoideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu obor integrity.
• Maximální ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne těleso.

[editovat] Související články

Související články obsahuje Portál Matematika

• Ideál (teorie uspořádání)
• Normální podgrupa