Identická relace

Identická relace (někdy také prostě identita) na množině $X \,\!$ , označovaná obvykle $id_X \,\!$ , je binární relace, pro kterou platí:

$id_X = \{(a,a); a \isin X \}$

Zjednodušeně řečeno: v identické relaci je každý prvek podkladové množiny obsažen pouze jednou - a to sám se sebou.

[editovat] Příklady a vlastnosti

Relace = je identita na přirozených, celých, racionálních, reálných i komplexních číslech.
Relace < není identita na přirozených číslech, protože 1<2 - v relaci < je tedy obsažena „neidentická“ dvojice .

Obecněji by se dalo říct, že relace = je obvykle zaváděna jako identita ve všech matematických strukturách, nejen výše uvedených číselných oborech (vizte například teorie množin, algebraické struktury).

[editovat] Identita jako nejmenší ekvivalence

Identita $id_X \,\!$ je ekvivalence na množině $X \,\!$ - je reflexivní, symetrická i tranzitivní. Navíc pokud na množině všech ekvivalencí na $X \,\!$ definujeme uspořádání podle zjemnění rozkladu, pak je $id_X \,\!$ nejmenší prvek množiny všech ekvivalencí na $X \,\!$ vzhledem k tomuto uspořádání (identitu již nelze dále zjemnit, protože každá její rozkladová množina má pouze jeden prvek).

[editovat] Identita jako nejmenší neostré uspořádání

Identita je $id_X \,\!$ je také neostré uspořádání množiny $X \,\!$ . Není to nijak zajímavé uspořádání - žádné dva různé prvky nejsou porovnatelné. Jedná se ale opět o nejmenší prvek - tentokrát množiny věech neostrých uspořádání množiny $X \,\!$ .

Kategorie: Teorie množin

Identická relace v jiných jazycích: Slovenčina

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Identick%C3%A1_relace“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 20. 5. 2008 v 17:41.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).