Imaginární jednotka

Jako imaginární jednotka se v matematice označuje číslo značené i (někdy též j), které rozšiřuje obor reálných čísel na obor čísel komplexních . Po tomto rozšíření existuje řešení libovolné polynomiální rovnice f(x) = 0.

V reálných číslech některé takové rovnice řešení nemají, konkrétně např. rovnice x² + 1 = 0. Pokud je k množině reálných čísel přidán nový prvek i, který tuto rovnici řeší, algebraickým uzávěrem takto vzniklé množiny je právě množina komplexních čísel, ve kterých má řešení už každá polynomiální rovnice.

[editovat] Definice

Podle definice imaginární jednotka i je řešením rovnice

x² = −1

Operace s reálnými čísly lze rozšířit na imaginární a komplexní čísla tak, že při manipulaci s výrazem zacházíme s i jako s neznámou veličinou a použijeme tuto definici k tomu, abychom nahradili všechny výskyty i² číslem −1.

[editovat] i a −i

Výše uvedená rovnice má ve skutečnosti dvě různá řešení která jsou aditivně inverzní. Přesněji, pokud řekneme, že řešením rovnice je i, je také řešením této rovnice −i (≠ i). Protože výše uvedená rovnice je jedinou definicí i, je zřejmé, že tato definice je nejednoznačná. Tuto nejednoznačnost odstraníme tak, že vybereme a zafixujeme jako řešení výše uvedené rovnice „pozitivní i“.

[editovat] Upozornění

Imaginární jednotka se někdy zapisuje jako , ale je třeba dát pozor při manipulaci s těmito odmocninami. Při aplikaci pravidel platících pro odmocniny z kladných reálných čísel na celý obor reálných čísel můžeme dostat špatný výsledek :

Kalkulační pravidlo

je platné pouze pro reálné, nezáporné hodnoty a a b.

Abychom se vyhnuli chybám při manipulaci s komplexními čísly, je lépe nepoužívat záporná čísla pod odmocninou.

[editovat] Mocniny i

Mocniny i se cyklicky opakují:

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = − 1

i³ = − i

i⁴ = 1

i⁵ = i

i⁶ = − 1

To lze vyjádřit matematickým vzorcem, kde n je libovolné celé číslo:

i⁴ⁿ = 1

i^{4n + 1} = i

i^{4n + 2} = − 1

i^{4n + 3} = − i

[editovat] i a Eulerův vzorec

Vezmeme Eulerův vzorec e^ix = cosx + isinx, a po dosazení π / 2 za x, dostaneme

e^{iπ / 2} = i

Jestliže obě strany umocníme na i, a využijeme i² = − 1, získáme následující rovnost:

Ve skutečnosti je snadné určit, že iⁱ má nekonečný počet řešení ve tvaru

iⁱ = e ^{− π / 2 + 2πN}

Z výše uvedené identity

e^{iπ / 2} = i

lze odvodit Eulerovu identitu

e^iπ + 1 = 0,

V Gaussově rovině imaginární jednotku představuje číslo [0;1].

Každé komplexní číslo lze zapsat (v tzv. algebraickém tvaru) ve tvaru a + ib, kde a a b jsou reálná čísla

[editovat] Vizte též

• Komplexní číslo
• Komplexní jednotka