Dvojitý vektorový součin

(Přesměrováno z Jacobiho identita, přímý odkaz na Dvojitý vektorový součin)

Jako dvojitý vektorový součin označíme výraz

$\mathbf{D} = \mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C})$

Jde tedy o kombinaci vektorových součinů tří vektorů. Vektor $\mathbf{D}$ , který je výsledkem dvojitého vektorového součinu, leží v rovině tvořené vektory $\mathbf{B}$ a $\mathbf{C}$ .

[editovat] Vyjádření skalárním součinem

Dvojitý vektorový součin lze vyjádřit pomocí skalárních součinů jako

$\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = (\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})\cdot \mathbf{B} - (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) \cdot \mathbf{C}$

[editovat] Rozklad vektoru

Pomocí dvojitého vektorového součinu lze provést rozklad vektoru $\mathbf{B}$ na složku paralelní a ortogonální k vektoru $\mathbf{B}$ . Položíme-li v předcházejícím vztahu $\mathbf{C} = \mathbf{A}$ a zavedeme jednotkový vektor $\mathbf{a} = \frac{\mathbf{A}}{A}$ , dostaneme

$\mathbf{B} = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{B})\cdot\mathbf{a} + \mathbf{a} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{a})$ ,

kde $(\mathbf{a}\cdot\mathbf{B})\cdot\mathbf{a}$ je složka vektoru B paralelní s vektorem A a $\mathbf{a}\times(\mathbf{B}\times \mathbf{a})$ je složka vektoru B k vektoru A kolmá.

[editovat] Jacobiho identita

Dvojitý vektorový součin vyhovuje tzv. Jacobiho identitě

$\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) + \mathbf{B} \times (\mathbf{C} \times \mathbf{A}) + \mathbf{C} \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = 0$

[editovat] Související články

Kategorie: Lineární algebra

Dvojitý vektorový součin v jiných jazycích: English, Русский

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Dvojit%C3%BD_vektorov%C3%BD_sou%C4%8Din“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 5. 6. 2008 v 06:09.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).