Matematická analýza

Matematická analýza (řecky ανάλυσις [ana'lyzɪs] „řešení“, starořecky ἀναλύειν ánalýein „řešit“) je jednou ze základních disciplín matematiky. Její kořeny jsou v době, kdy byl přesně definován infinitesimální počet, nezávisle na sobě Leibnizem a Newtonem. Jejími základními pojmy jsou funkce, limita (posloupností a funkcí), derivace a integrál.^[1] Zahrnuje však také teorii míry, nekonečných řad^[2] a analytické funkce. Metody matematické analýzy mají velký význam v přírodních a technických vědách.

Studované objekty mohou být reálná čísla, komplexní čísla, ale i prvky libovolného jiného prostoru, kde je definována kompaktnost (topologický prostor) nebo vzdálenost (metrický prostor).

Dle studovaných objektů se matematická analýza dělí na reálnou analýzu, komplexní analýzu či například funkcionální analýzu. Dále sem patří integrální počet, diferenciální počet, teorie diferenciálních rovnic atd.

[editovat] Motivace

Důvody studia matematické analýzy v širším kontextu topologických či metrických prostorů jsou hned dva:

• základní techniky se osvědčily také v aplikacích na širší třídu problémů (například studium funkcionální analýzy).
• neméně důležité je však také hlubší porozumění analýze ve více abstraktních prostorech, jež se už mnohokrát ukázalo být přímo aplikovatelné na klasické problémy. Jedním z příkladů by mohla být Fourierova analýza, kde jsou funkce vyjádřeny jako určité nekonečné řady (s komplexním exponentem nebo řady trigonometrických funkcí). V reálném světě je tato dekompozice užitečná k rozložení libovolné (zvukové) vlny až na jednotlivé frekvenční součásti. Koeficienty výrazu ve Fourierově rozvoji funkce mohou být také uvažovány jako vektory nekonečně-dimenzionálního prostoru, který je známý jako Hilbertův prostor. Studium funkcí definovaných v takto dostatečně obecných podmínkách také poskytuje pohodlnou metodu získávání informací o tom, jak se funkce mění v prostoru, stejně jako v čase. Při řešení parciálních diferenciálních rovnic se tato technika nazývá oddělení proměnných.

[editovat] Historie

První kroky v analýze byly učiněny již v počátcích řecké matematiky v období antiky. Například nekonečná geometrická řada byla známa již tehdy díky Zénonovým aporiím.^[3] Později řečtí matematici jako například Eudoxos a Archimedes vytvořili ještě jasnější, ovšem zatím neformální, použití konceptu limit a konvergence, když používali metodu vyčerpání ke spočtení plochy a obsahu/objemu dvou- a třírozměrných objektů.^[4] V 12. století v Indii vytvořil matematik Bhaskara koncepci diferenciálního počtu, příklady derivačního a diferenciálního koeficientu a také tvrzení, které je dnes známé jako Rolleova věta.

[editovat] Odkazy

[editovat] Použité zdroje

1. ↑ Whittaker, Watson. [s.l.] : [s.n.], 1927. Kapitola 3.
2. ↑ HEWITT, Edwin; STROMBERG, Karl. Real and Abstract Analysis. [s.l.] : Springer-Verlag, 1965.
3. ↑ STILLWELL, John. Real and Abstract Analysis. [s.l.] : [s.n.], 2004. 170 s. Kapitola Infinite Series.
   „Nekonečné řady byly v řecké matematice přítomny, [...] Není pochyb, že Zénonův dichotomický paradox (Sekce 4.1) se zabývá například rozložením čísla 1 do nekonečné řady 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + 1/2^4 + ... a že Archimedes nalezl oblast parabolického segmentu (Sekce 4.4) vlastně sčítáním nekonečné řady 1 + 1/4 + 1/4^2 + 1/4^3 + ... = 4/3. Oba tyto příklady jsou zvláštními případy toho, co dnes označujeme jako součet geometrické řady“
4. ↑ (, 1958)Smith. [s.l.] : [s.n.], 1958.

• Tento článek je zčásti nebo zcela založen na překladu článku Analysis na německé Wikipedii. Číslo revize nebylo určeno.
• Tento článek je zčásti nebo zcela založen na překladu článku Mathematical analysis na anglické Wikipedii. Číslo revize nebylo určeno.

[editovat] Související články

Související články obsahuje Portál Matematika

• Lineární algebra