Kanonická transformace

Jako kanonická transformace se v hamiltonovské mechanice označuje taková změna souřadnic ve fázovém prostoru, tedy $(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) \rightarrow (\mathbf{Q}, \mathbf{P}, t)$ pro zobecněné souřadnice $\mathbf{q}, \mathbf{Q}$ a zobecněné hybnosti $\mathbf{p}, \mathbf{P}$ , při kterých se zachovává tvar Hamiltonových rovnic, ačkoliv se nemusí nemusí zachovávat Hamiltonova funkce.

Zvláštním případem kanonických transformací jsou transformace zobecněných souřadnic $\mathbf{q} \rightarrow \mathbf{Q}$ , při nichž nedochází ke změně tvaru Lagrangeovy rovnice a tedy také ani ke změně Hamiltonových rovnice. Touto skupinou transformací se zabývá lagrangeovská mechanika. Třída kanonických transformací je však mnohem širší neboť kromě transformací zobecněných souřadnic obsahuje také transformace zobecněných hybností (a také vzájemné kombinace souřadnic a hybností).

Ve fázovém prostoru tedy existuje speciální třída souřadnicových systémů, které jsou vzájemně spojeny kanonickými transformace.

Kanonické transformace tvoří grupu.

Obsah

1 Matematické vyjádření
- 1.1 Podmínky kanonické transformace
2 Pohyb jako kanonická transformace
3 Související články

[editovat] Matematické vyjádření

Hamiltonovy rovnice mají tvar

$\dot{\mathbf{p}} = -\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}$

$\dot{\mathbf{q}} =~~\frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}}$

kde $H$ je Hamiltonova funkce, $\mathbf{q}$ jsou zobecněné souřadnice a $\mathbf{p}$ jsou zobecněné hybnosti.

Při kanonické transformaci

$\mathbf{Q} = \mathbf{Q}(\mathbf{q},\mathbf{p},t)$

$\mathbf{P} = \mathbf{P}(\mathbf{q},\mathbf{p},t)$

získáme novou Hamiltonovu funkci $\overline{H}(\mathbf{Q},\mathbf{P},t)$ , pro kterou platí Hamiltonovy rovnice

$\dot{\mathbf{P}} = -\frac{\partial \overline{H}}{\partial \mathbf{Q}}$

$\dot{\mathbf{Q}} =~~\frac{\partial \overline{H}}{\partial \mathbf{P}}$

[editovat] Podmínky kanonické transformace

Při obecné transformaci $(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) \rightarrow (\mathbf{Q}, \mathbf{P}, t)$ se nemusí zachovávat tvar Hamiltonových rovnic. Pokud je transformace kanonická, musí být splněny určité podmínky, které lze vyjádřit ve tvaru

$\left( \frac{\partial Q_i}{\partial p_k}\right)_{\mathbf{q}, \mathbf{p}} = -\left( \frac{\partial q_k}{\partial P_i}\right)_{\mathbf{Q}, \mathbf{P}}$

$\left( \frac{\partial Q_i}{\partial q_k}\right)_{\mathbf{q}, \mathbf{p}} = \left( \frac{\partial p_k}{\partial P_i}\right)_{\mathbf{Q}, \mathbf{P}}$

$\left( \frac{\partial P_i}{\partial p_k}\right)_{\mathbf{q}, \mathbf{p}} = \left( \frac{\partial q_k}{\partial Q_i}\right)_{\mathbf{Q}, \mathbf{P}}$

$\left( \frac{\partial P_i}{\partial q_k}\right)_{\mathbf{q}, \mathbf{p}} = -\left( \frac{\partial p_k}{\partial Q_i}\right)_{\mathbf{Q}, \mathbf{P}}$

Tyto podmínky umožňují ověřit, zda je transformace kanonická.

[editovat] Pohyb jako kanonická transformace

Samotný pohyb (tedy posunutí počátku časové osy) lze vyjádřit jako kanonickou transformaci. Pokud $\mathbf{Q}(t) \equiv \mathbf{q}(t+\tau)$ a $\mathbf{P}(t) \equiv \mathbf{p}(t+\tau)$ , pak podle Hamiltonova principu platí

$\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[ \mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - \overline{H}(\mathbf{Q}, \mathbf{P}, t) \right] \mathrm{d}t = \delta \int_{t_{1}+\tau}^{t_{2}+\tau} \left[ \mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}} - H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t+\tau) \right] \mathrm{d}t = 0$

Trajektorie pohybu ve fázovém prostoru bude tedy vždy splňovat Hamiltonův princip, bez ohledu na koncové bocy trajektorie.

[editovat] Související články

Tento fyzikální článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Kategorie: Mechanika

Kanonická transformace v jiných jazycích: Deutsch, English, Español, Français, Italiano, 한국어, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Kanonick%C3%A1_transformace“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 26. 7. 2008 v 16:32.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).