Kosinová věta

Trojúhelník ABC

V trigonometrii je kosinová věta důležité tvrzení o rovinných trojúhelnících.

Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha$

$b^2 = c^2 + a^2 - 2 c a \cdot \cos \beta$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cdot \cos \gamma$

Speciálním případem kosinové věty je Pythagorova věta: pokud je úhel γ pravý, pak $cosγ = 0$ a tudíž $c 2 = a 2 + b 2$ .

Větu lze mimo jiné použít v případě, že máme dány dvě strany trojúhelníku, úhel, který svírají, a chceme zjistit délku zbývající strany.

[editovat] Důkaz

Důkaz vzorce pro zjištění stany a trojúhelníku ABC je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu α (ostrý, pravý a tupý).

Je-li α ostrý a bod P patou výšky v_c, pak bod P náleží straně c (pokud ne, prohodíme označení bodů B a C). Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. Pak podle Pythagorovy věty je

$a^2 = v_c^2 + (c-u)^2$ .

Protože dále platí, že

u = b cosα

v c = b sinα

lze psát

$a^2 = (b \cdot \sin \alpha)^2 + (c - b \cdot \cos \alpha)^2$

$a^2 = b^2 \cdot \sin^2 \alpha + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha + b^2 \cdot \cos^2 \alpha$

$a^2 = b^2 (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha$

$a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha$

$\ a^2 = b^2 + c^2$ .

Protože je α = π/2, je

cosα = 0

, a pak

$a^2 = b^2 + c^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha$

Je-li α tupý a bod P patou výšky v_c, pak bod P leží mimo c. Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. Pak podle Pythagorovy věty je

$a^2 = v_c^2 + (c+u)^2$ .

Protože dále platí, že

u = b cos(π - α)

v c = b sin(π - α)

a dále

cos(π - α) = - cosα

sin(π - α) = sinα

lze psát

$a^2 = (b \cdot \sin \alpha)^2 + (- b \cdot \cos \alpha + c)^2$ .

Což je totéž, jako v případě, že je úhel α ostrý a tedy

$a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha$ .

Kosinová věta v jiných jazycích: العربية, Български, Bosanski, Català, Dansk, Deutsch, English, Esperanto, Español, فارسی, Suomi, Français, עברית, Magyar, Bahasa Indonesia, Italiano, 日本語, ქართული, ភាសាខ្មែរ, 한국어, Bahasa Melayu, Nederlands, Polski, Português, Română, Русский, Slovenčina, Slovenščina, Српски / Srpski, Svenska, ไทย, Türkçe, Українська, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Kosinov%C3%A1_v%C4%9Bta“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 22. 8. 2008 v 18:30.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).