Kužel

Obecný kužel.

Rotační kužel (vlevo) a kosý kužel (vpravo).

Kužel je oblé těleso, které získáme jako průnik kuželového prostoru a rovinné vrstvy.

Část kuželové plochy, která tvoří povrch kužele je označována jako plášť kužele. Řez kuželového prostoru hraniční rovinou vrstvy se nazývá podstava. Plášť kužele a podstavu nazýváme společným názvem povrch kužele. Bod, ve kterém se rovinný řez kužele redukuje na bod, se označuje jako vrchol kužele. Kolmou vzdálenost mezi podstavou a vrcholem nazýváme výškou kužele. Vzdálenost mezi vrcholem a podstavou podél pláště nazýváme stranou kužele.

Je-li podstavou kužele kruh, pak jej označíme jako kruhový. Pokud kolmice spuštěná z vrcholu na rovinu podstavy prochází středem podstavy kruhového kužele, pak kužel označujeme jako rotační kužel nebo kolmý kruhový kužel. Pokud kruhový kužel není kolmý, pak jej označujeme jako kosý.

Obsah

1 Kuželová plocha a prostor
- 1.1 Rovnice
2 Vlastnosti
3 Rotační kužel
- 3.1 Vlastnosti
- 3.2 Kuželosečky
4 Související články

[editovat] Kuželová plocha a prostor

Kuželový prostor.

Mějme jednoduchou uzavřenou křivku $k$ , která leží v rovině. Body, které leží přímkách procházejících libovolným bodem křivky $k$ a bodem $V$ ležícím mimo rovinu křivky $k$ tvoří kuželovou plochu. Část prostoru ohraničená kuželovou plochou se nazývá kuželový prostor.

Kuželová plocha je množina bodů v prostoru, která vznikne z kužele tím, že odstraním podstavu a každou úsečku pláště (tj. spojnici vrcholu kužele s bodem hranice podstavy) prodloužím na přímku. Nejlepší představa je taková ,že se jedná o dva středově souměrné (podle vrcholu kužele) kornouty jdoucí do nekonečna.

[editovat] Rovnice

Kuželová plocha (kvadratický kužel) s vrcholem v počátku, která v rovině $z = c$ prochází elipsou $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (tzv. řídící křivka), má rovnici

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$

Přímky, které tvoří povrch kužele se nazývají tvořící přímky.

Tato plocha je asymptotickou plochou (asymptotickým kuželem) hyperboloidů

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=\pm 1$

Pro $a = b$ jde o rotační kužel s osou rotace $z$ .

Kuželovou plochu s vrcholem v bodě $[x 0, y 0, z 0]$ je vždy možné vyjádřit rovnicí

$F\left(\frac{x-x_0}{z-z_0},\frac{y-y_0}{z-z_0}\right)=0$

[editovat] Vlastnosti

Pro objem kužele platí

$V = \frac{1}{3}Sv$ ,

kde $S$ je obsah podstavy a $v$ je výška kužele.

[editovat] Rotační kužel

Rotační kužel.

Rotační kužel je rotační těleso vzniklé otáčením pravoúhlého trojúhelníku v prostoru okolo jedné z odvěsen. Otáčením druhé odvěsny vznikne kruhová podstava kužele (někdy také nazývaná jako základna kužele), otáčením přepony pak kuželová plocha nebo jinak plášť kužele. Tento plášť je v podstatě „stočená“ kruhová výseč, jejíž úhel záleží na poměru výšky kužele a poloměru podstavy. Společný vrchol přepony a osy otáčení nazýváme vrchol kužele.

[editovat] Vlastnosti

Označíme-li $r$ poloměr kruhové podstavy kužele a $h$ výšku kužele (t.j. vzdálenost vrcholu kužele od základny), pak lze vypočítat:

poloměr pláště (tj. vzdálenost vrcholu kužele od hraniční kružnice podstavy neboli délku strany pláště) pomocí Pythagorovy věty jako

$s = \sqrt{r^2 + h^2} \,\!$

objem kužele jako

$V = \frac{\pi r^2 h}{3} \,\!$

povrch kužele jako součet obsahu podstavy $S_p = \pi r^2 \,\!$ a obsahu pláště $S_{pl} = \pi r s \,\!$

$S = S_p + S_{pl} = \pi r (r + s) \,\!$

Symetrické vlastnosti
- Kužel není středově souměrný.
- Kužel je osově souměrný podle spojnice vrcholu kužele se středem podstavy.
- Kužel je rovinově souměrný podle nekonečně mnoha rovin - rovinou souměrnosti je každá rovina, která v sobě obsahuje jeho osu (tj. vrchol a střed podstavy).

V jistém smyslu je kužel „limitním případem“ posloupnosti pravidelných n-bokých jehlanů pro n jdoucí do nekonečna. To je ostatně vidět i ze vzorce pro objem, který je hodně podobný vzorci pro objem jehlanu.

[editovat] Kuželosečky

Podrobnější informace naleznete v článku Kuželosečka.

Z geometrického pohledu jsou zajímavé řezy rotační kuželové plochy, tj. průniky této plochy s nějakou rovinou.

Singulární řezy kužele - pokud rovina řezu prochází vrcholem kužele, mohou nastat tři případy:

průnikem je bod (vrchol kužele), pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
průnikem je přímka ležící na kuželové ploše, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
průnikem jsou dvě přímky, které se protínají ve vrcholu kužele, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele)

Regulární řezy kužele - pokud rovina řezu neprochází vrcholem kužele, mohou nastat čtyři případy:

průnikem je kružnice, pokud je rovina řezu kolmá na osu kužele
průnikem je elipsa, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou, ale rovina řezu není kolmá na osu kužele
průnikem je parabola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
průnikem je hyperbola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele)

To je důvod, proč jsou elipsa, parabola a hyperbola nazývány souhrnně kuželosečkami.

[editovat] Související články

Související články obsahuje
Portál Matematika

Wikislovník obsahuje slovníkovou definici slova kužel.

Kategorie: Prostorové geometrické útvary

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Ku%C5%BEel“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 21. 7. 2008 v 15:23.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).