Hledat:

Invia.cz Last minute Tunisko Dovolená v Chorvatsku Pojeďte do Egypta Bulharsko Last minute Kréta
 

Lagrangeova věta (teorie grup)

Lagrangeova věta je základní tvrzení z teorie grup, jehož důsledkem je, že řád každého prvku či podgrupy dělí řád grupy. To znamená, že například grupa řádu 15 může mít prvky řádu 1, 3, 5 a 15, avšak nikoliv třeba 7. Věta nese jméno význačného matematika, Josepha Louise Lagrange.

Přesné znění[editovat | editovat zdroj]

Pro grupu G a její podgrupu H platí:

, kde |X| značí řád grupy X a [G:H] index grupy (počet levých cosetů H v G).

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Nejprve ukážeme, že levé cosety tvoří dohromady pro rozklad množiny G. Protože , nepochybně levé cosety obsahují všechny prvky G. Abychom ukázali, že neobsahují žádný prvek dvakrát, předpokládejme naopak pro nějaké . Jinými slovy pro nějaká musí být . Vynásobením na pravé straně prvkem dostaneme . Pro jednoduchost provedeme substituci . Vzhledem k definici podgrupy , a proto

.

, neboť rovněž , a tudíž každý prvek v yH je obsažen v xH. Symetrickým postupem bychom získali , a proto . Z čehož plyne, že cosety gH tvoří rozklad G.

Abychom ukázali, že řád všech cosetů je totožný, najdeme bijektivní zobrazení f z H na xH pro . Definujme f rovnicí

  • Důkaz injektivity: Předpokládejme .

. Obě strany vynásobíme zleva prvkem

Nechť značí celkový počet všech (ať už levých nebo pravých) cosetů. Jak už jsme ukázali, cosety tvoří rozklad množiny G a každý z nich má tentýž řád |H|. Z těchto úvah plyne .

QED.

Důsledky[editovat | editovat zdroj]

Řád každého prvku , neboli nejnižší přirozené číslo n, pro které , je řád cyklické grupy generované prvkem a, a proto podle Lagrangeovy věty n dělí řád grupy G. Lagrangeova věta je silnějším tvrzením než Eulerova-Fermatova věta. Dá se ukázat, že množina zbytků modulo n, které jsou s n nesoudělná, tvoří s operací násobení grupu. Neutrální prvek je e = 1; existence inverzního prvku je důsledek Bézoutovy rovnosti pro gcd(g,n) = 1; asociativita vyplývá z vlastností modulární aritmetiky; uzavřenost grupy je zřejmá, neboť součin dvou čísel nesoudělných s n je rovněž nesoudělný, jakož i jeho zbytek po dělení modulo n. Řád takové grupy je právě , což je Eulerova funkce. Podle Lagrangeovy věty má každý prvek g nějaký řád k, který je dělitelem čísla . Odtud plyne

, kde

což je ekvivalentí zápisu

.

Příbuzná tvrzení[editovat | editovat zdroj]

Lagrangeova věta dává nutnou podmínku pro řády podgrup (i prvků) grupy, nezaručuje ale jejich existenci. Naopak Sylowovy věty na základě řádu grupy zaručují existenci jistých podgrup v dané grupě - dají se tedy brát jako protipól Lagrangovy věty.

Související články[editovat | editovat zdroj]

 
Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „https://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Lagrangeova_věta_(teorie_grup)&oldid=11862083
Stránka byla naposledy upravena 16. 9. 2014 v 15:50. Editovat celý článek Lagrangeova věta (teorie grup).
Text je dostupný pod licencí Creative Commons Uveďte autora – Zachovejte licenci 3.0 Unported, případně za dalších podmínek. Podrobnosti naleznete na stránce Podmínky užití.
Další služby: Portál | Katalog | Hledej | Zprávy | Počasí | Kurzy | Práce | Slovník | TV | Online hry | Java hry | SMS | Loga a melodie | Chat | Fórum | Kontakt | Set-top-boxy