Lagrangeovská formulace mechaniky

Lagrangeovská formulace mechaniky (někdy též lagrangeovská mechanika) představuje jiný přístup k popisu mechaniky než jaký využívají Newtonovy pohybové rovnice. Newtonovy pohybové rovnice sice umožňují úplně popsat mechanický pohyb, z matematického hlediska se však ukazuje, že je možné zvolit jiný přístup k popisu tohoto pohybu, který je v mnoha případech výhodnější.

Lagrangeovská formulace mechaniky je považována za součást teoretické mechaniky a její základy předložil v roce 1788 Joseph Louis Lagrange.

Další formulací mechaniky je hamiltonovská formulace mechaniky, kterou předložil Hamilton.

Obsah

1 Formulace
2 Lagrangeovy rovnice
- 2.1 Lagrangeovy rovnice prvního druhu
- 2.2 Lagrangeovy rovnice druhého druhu
3 Příklady
- 3.1 Pohybová rovnice oscilátoru
- 3.2 Oscilátor a odpor prostředí
4 Související články

[editovat] Formulace

V této formulaci mechaniky se k popisu systému používají zobecněné souřadnice, což zjednodušuje analýzu systému. Trajektorie pohybu se v Lagrangeovské formulaci mechaniky získají řešením Lagrangeovy rovnice, která vychází z variačního počtu. Řešení Lagrangeovy rovnice přitom představuje nalezení cesty, která minimalizuje funkcionál akce, což je veličina, která je integrálem lagrangiánu.

[editovat] Lagrangeovy rovnice

Lagrangeovy rovnice jsou zobecněním Newtonových pohybových rovnic, neboť umožňují formulovat pohybové rovnice i v oblastech, v nichž Newtonovy pohybové rovnice nemají smysl. Jejich velkou výhodou je především jednodušší přepis rovnic do křivočarých souřadnic. Při jejich odvození pro holonomní vazby vycházel Lagrange z d'Alembertova principu a principu virtuální práce.

Lagrangeovy rovnice se zapisují ve dvou tvarech.

[editovat] Lagrangeovy rovnice prvního druhu

Lagrangeovy rovnice prvního druhu jsou rovnice plynoucí z d'Alembertova principu, který zobecňují a s využitím tzv. Lagrangeových multiplikátorů definují pohybové rovnice soustavy hmotných bodů.

Při odvození Lagrangeových rovnic prvního druhu se vychází z d'Alembertova principu. U d'Alembertova principu se předpokládá, že variace souřadnic jsou navzájem nezávislé. Zobecněním použitého postupu pro případ, kdy variace souřadnic nejsou navzájem zcela nezávislé a splňují jisté podmínky plynoucí z vazeb lze dojít k pohybovým rovnicím pro soustavu vázaných bodů.

Pokud je soustava podrobena $r$ nezávislým holonomním (obecně rheonomním) vazbám, které lze vyjádřit jako

$\Phi_k(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,...,\mathbf{r}_n,t) = 0$ ,

kde $\mathbf{r}_i$ je polohový vektor $i$ -té částice, $n$ je počet částic systému a $k = 1,2,..., r$ je počet vazeb, pak virtuální posunutí splňují $r$ nezávislých podmínek ve tvaru

$\sum_{i=1}^n \left(\frac{\part\Phi_k}{\part \mathbf{r}_i}\delta \mathbf{r}_i\right) = 0$

pro $k = 1,2,..., r$ .

Zvolíme $r$ zatím neurčených koeficientů $λ 1,λ 2,...,λ r$ označovaných jako Lagrangeovy multiplikátory, které vynásobíme s uvedenými podmínkami a přičteme k rovnicím vyjadřujícím d'Alembertův princip. Tím dostaneme

$\sum_{i=1}^n \left[\left(\mathbf{F}_i-m_i\ddot{\mathbf{r}}_i + \sum_{k=1}^r \lambda_k \frac{\part\Phi_k}{\part \mathbf{r}_i}\right)\delta \mathbf{r}_i\right] = 0$

Tento vztah platí pro libovolné konečné hodnoty multiplikátorů $λ k$ pro $k = 1,2,..., r$ , avšak pouze pro virtuální posunutí, které splňují uvedené podmínky.

U vázané soustavy můžeme pokládat $ν = 3 n - r$ variací souřadnic za nezávislé, přičemž $3 n$ je celkový počet variací souřadnic, $r$ je počet nezávislých podmínek a $ν$ označuje počet stupňů volnosti. Multiplikátory $λ k$ je navíc možné volit tak, aby vymizely koeficienty u zbývajících $r$ variací. Tím dostaneme potřebný počet rovnic k určení všech $r$ multiplikátorů $λ k$ a v předchozí rovnici zůstane pouze lineární homogenní funkce nezávislých variací souřadnic. Poněvadž tato rovnice musí být splněna vždy, je nutné, aby vymizely také koeficienty u všech nezávislých variací. V uvedené rovnici tedy musí vymizet koeficienty u všech variací. Dostaneme tak $3 n$ pohybových rovnic, které se nazývají Lagrangeovy rovnice prvého druhu, v následujícím tvaru

$m_k\ddot{\mathbf{r}}_k = \mathbf{F}_k + \sum_{i=1}^r \lambda_i \frac{\part\Phi_i}{\part\mathbf{r}_k}$

pro $k = 1,2,..., n$ .

Integrací těchto rovnic lze získat souřadnice všech $n$ hmotných bodů jako funkce času, pokud ovšem určíme hodnoty multiplikátorů $λ i$ tak, aby byly v každém okamžiku splněny uvedené vazební podmínky. Tyto pohybové rovnice dávají úplné řešení pohybu obecné soustavy hmotných bodů a to jak po stránce kinematické, tak po stránce dynamické. Určením hodnot multiplikátorů $λ i$ totiž zjistíme také vazbové síly, které působí na jednotlivé hmotné body soustavy a to v libovolném čase. Vazbové síly, které působí na $k$ -tý hmotný bod lze vyjádřit jako

$\mathbf{R}_k = \sum_{i=1}^r \lambda_i\frac{\part\Phi_i}{\part\mathbf{r}_k}$

Tyto rovnice určují vazbové síly při daných počátečních podmínkách jednoznačně.

Úplnost Lagrangeových rovnic prvého druhu vede ke složitějším výpočtům a to zvláště při větším počtu vazebních podmínek. Pokud se např. zajímáme pouze o zjištění časového průběhu pohybu soustavy, pak je pro nás zjištění vazebových sil zbytečné. K takovému výpočtu pak postačuje menší počet pohybových rovnic, který je roven počtu stupňů volnosti soustavy $ν = 3 n - r$ . Tento postup se využívá u Lagrangeových rovnic druhého druhu.

[editovat] Lagrangeovy rovnice druhého druhu

Lagrangeovy rovnice druhého druhu jsou rovnice, které umožňují vytvoření pohybových rovnic soustavy hmotných bodů zavedením tzv. zobecněných souřadnic.

Metoda neurčitých multiplikátorů, která byla využita v Lagrangeových rovnicích prvého druhu, má velkou výhodu v tom, že se všemi souřadnicemi se zachází stejně. To se projevuje v úplné symetrii výsledných pohybových rovnic Lagrangeovy rovnice prvého druhu.

Je však možné postupovat také jiným způsobem. Předpokládejme, že vazby jsou skleronomní, tzn. lze je vyjádřit podmínkami

$\Phi_k(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,...,\mathbf{r}_n) = 0$

pro $n$ částic systému. Pro virtuální posunutí opět platí $r$ nezávislých podmínek ve tvaru

$\sum_{i=1}^n \left(\frac{\part\Phi_k}{\part \mathbf{r}_i}\delta \mathbf{r}_i\right) = 0$

pro $k = 1,2,..., r$ .

Vzájemnou závislost variací, která vyplývá z těchto podmínek můžeme odstranit tak, že $r$ variací vyjádříme pomocí uvedených podmínek jako lineární homogenní funkce libovolně zvolených $ν = 3 n - r$ variací, které již pokládáme za nezávislé. Levé strany vazbových rovnic tak přejdou v lineární homogenní funkci $ν$ nezávislých variací, které musí identicky vymizet. Koeficienty všech těchto nezávislých variací musí být tedy rovny nule. To vede k $ν$ pohybovým rovnicím.

Toho lze dosáhnou zavedením tzv. zobecněných (obecných) souřadnic $q i$ soustavy. Počet $n$ těchto souřadnic se volí menší nebo roven počtu stupňů volnosti. Souřadnice všech hmotných bodů jsou pak vyjádřeny jako funkce $ν$ nezávislých proměnných $q i$ , tzn.

$\mathbf{r}_k = f_k(q_1,q_2,...,q_\nu)$ ,

kde $q i$ představují zobecněné souřadnice.

Prostor $\mathbf{R}^n$ zobecněných souřadnic se nazývá konfigurační prostor.

Zobecněné souřadnice $q i$ nejsou nijak omezeny a obecně nemusí mít rozměr délky, ale mohou to být libovolné mechanické veličiny. Podmínkou ovšem je, aby byly splněny uvedené vazbové podmínky pro libovolné hodnoty $q i$ . To znamená, že levé strany vazbových rovnic jsou nezávislé na hodnotách všech souřadnic $q i$ , a proto musí být parciální derivace $Φ k$ podle souřadnic $q i$ nulové, tedy

$\frac{\part\Phi_a}{\part q_i} = \sum_{k=1}^n \left(\frac{\part\Phi_a}{\part x_k}\frac{\part x_k}{\part q_i} + \frac{\part \Phi_a}{\part y_k}\frac{\part y_k}{\part q_i} + \frac{\part\Phi_a}{\part z_k}\frac{\part z_k}{\part q_i}\right) = 0$

pro $i = 1,2,...,ν$ .

V takové případě je možné z Lagrangeových rovnice prvého druhu vyloučit multiplikátory $λ i$ a to tak, že násobíme rovnice postupně $\frac{\part x_k}{\part q_i}, \frac{\part y_k}{\part q_i}, \frac{\part z_k}{\part q_i}$ a následně sečteme všech $3 n$ rovnic.

$\sum_{k=1}^n m_k\left(\ddot{x}_k\frac{\part x_k}{\part q_i} + \ddot{y}_k\frac{\part y_k}{\part q_i} + \ddot{z}_k\frac{\part z_k}{\part q_i}\right) = \sum_{k=1}^n \left(F_{kx}\frac{\part x_k}{\part q_i} + F_{ky}\frac{\part y_k}{\part q_i} + F_{kz}\frac{\part z_k}{\part q_i}\right)$

pro $i = 1,2,...,ν$ . Ostatní členy na pravé straně se vzhledem k uvedené podmínce zruší.

Stejný výsledek lze získat z d'Alembertova principu dosazením

$\delta\mathbf{r}_k = \sum_{i=1}^r \frac{\part\mathbf{r}_k}{\part q_i}\delta q_i$

a vzhledem k nezávislosti obecných souřadnic $q i$ lze koeficienty u všech variací $δ q i$ položit rovny nule.

Získané rrovnice upravíme tak, aby obsahovaly pouze zobecněné souřadnice $q i$ a jejich prvé a druhé derivace. Také složky explicitních sil je třeba nahradit jejich složkami $Q i$ v zobecněných souřadnicích. Tyto síly definujeme tak, aby virtuální práce explicitních sil

$\delta W = \sum_{k=1}^n \left(F_{kx}\delta x_k + F_{ky}\delta y_k + F_{kz}\delta z_k\right)$

měla obdobný tvar i pro obecné souřadnice, tzn.

$\delta W = \sum_{i=1}^\nu Q_i\delta q_i$

Z předchozího dostaneme

$\sum_{i=1}^\nu Q_i\delta q_i = \sum_{i=1}^\nu \sum_{k=1}^n \left(F_{kx}\frac{\part x_k}{\part q_i} + F_{ky}\frac{\part y_k}{\part q_i} + F_{kz}\frac{\part z_k}{\part q_i}\right)\delta q_i$

a odtud vzhledem k nezávislosti variací $δ q i$ dostaneme

$Q_i = \sum_{k=1}^n \left(F_{kx}\frac{\part x_k}{\part q_i} + F_{ky}\frac{\part y_k}{\part q_i} + F_{kz}\frac{\part z_k}{\part q_i}\right)$

Složky explicitních sil $F k x, F k y, F k z$ jsou funkcemi souřadnic $x k, y k, z k$ a proto lze $Q i$ vyjádřit jako funkce zobecněných souřadnic $q i$ . Veličiny $Q i$ se nazývají zobecněné síly, ačkoli obecně nemusí mít rozměr síly.

Rychlosti lze vyjádřit jako

$\dot{\mathbf{r}}_k = \sum_{i=1}^\nu \frac{\part\mathbf{r}_k}{\part q_i}\dot{q}_i$ ,

kde tečka označuje derivaci podle času. Derivace $\dot{q}_i$ se obvykle nazývají zobecněné rychlosti soustavy.

Derivací předchozího vztahu podle $\dot{q}_i$ , dostaneme

$\frac{\part \dot{\mathbf{r}}_k}{\part\dot{q}_i} = \frac{\part x_k}{\part q_i}$

a kromě toho také

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \dot{\mathrm{r}}_k\frac{\part\mathrm{r}_k}{\part q_i}\right) = \ddot{\mathrm{r}}_k\frac{\part \mathbf{r}_k}{\part q_i} + \dot{\mathbf{r}}_k\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\part \mathbf{r}_k}{\part q_i}\right)$

Z předchozích vztahů s využitím záměnnosti pořadí derivací podle obecných souřadnic a podle času bude

$\ddot{\mathbf{r}}_k\frac{\part \mathbf{r}_k}{\part q_i} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dot{\mathbf{r}}_k\frac{\part \dot{\mathbf{r}}_k}{\part \dot{q}_i}\right) - \dot{\mathbf{r}}_k\frac{\part}{\part q_i}\left(\dot{\mathbf{r}}_k\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{\part}{\part \dot{q}_i}\left(\frac{\dot{\mathbf{r}}_k^2}{2}\right)\right] - \frac{\part}{\part q_i}\left(\frac{\dot{\mathbf{r}}_k^2}{2}\right)$

Pomocí výrazu pro zobecněnou sílu pak získáme

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{\part}{\part \dot{q}_i}\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n m_k\left(\dot{x}_k^2+\dot{y}_k^2+\dot{z}_k^2\right)\right] - \frac{\part}{\part q_i}\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n m_k\left(\dot{x}_k^2+\dot{y}_k^2+\dot{z}_k^2\right) = Q_i$

Pokud vyjádříme celkovou kinetickou energii soustavy jako funkci $2ν$ nezávislých proměnných $q i$ a $\dot{q}_i$ , tedy

$T(q_1,q_2,...,q_\nu,\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_\nu) = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n m_k\left(\dot{x}_k^2+\dot{y}_k^2+\dot{z}_k^2\right)$ ,

pak lze psát

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\frac{\part T}{\part \dot{q}_i}\right) - \frac{\part T}{\part q_i} = Q_i$

pro $i = 1,2,...,ν$ . Tyto rovnice se nazývají Lagrangeovy rovnice druhého druhu.

Přestože byly tyto rovnice odvozeny pro holonomní soustavy se skleronomními vazbami, lze se přesvědčit, že tyto rovnice zůstávají v platnosti také pro rheonomní vazby.

Zápis Lagrangeových rovnic druhého druhu lze zjednodušit zavedením zobecněných hybností.

Lagrangeovy rovnice druhého druhu mají invariantní charakter v tom smyslu, že tvar těchto rovnic se nemění při libovolných transformacích zobecněných souřadnic $q i$ .

[editovat] Konzervativní systém

V konzervativním poli lze k síle $F i$ nalézt potenciální energii $V$ tak, že platí

$F_i = -\frac{\part V(x_k,t)}{\part x_i}$

Zobecněnou sílu lze pak vyjádřit jako

$Q_j = \sum_i F_i\frac{\part x_i}{\part q_j} = -\frac{\part V(q_k,t)}{\part q_j}$

Použijeme-li Lagrangeovu funkci $\mathcal{L}$ ve tvaru

$\mathcal{L} = T - V$ ,

pak lze Lagrangeovy rovnice druhého druhu psát

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\part \mathcal{L}}{\part \dot{q}_i}\right) - \frac{\part \mathcal{L}}{\part q_i} = 0$

Tato rovnice má tvar Eulerovy-Lagrangeovy rovnice.

[editovat] Zobecněná potenciálová funkce

Lze také zavést tzv. zobecněnou potenciálovou funkci $U(\dot{x}_i,x_i,t)$ . Potenciální energii $V$ lze pak považovat za speciální případ zobecněné potenciálové funkce, kdy $U$ nezávisí na rychlostech.

Mezi zobecněnou potenciálovou funkcí a silou platí vztah

$F_i = -\frac{\part U}{\part x_i} + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\part U}{\part \dot{x}_i}$

Přepíšeme-li $U$ do zobecněných souřadnic $q j$ , dostaneme

$Q_j = -\frac{\part U}{\part q_j} + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\part U}{\part \dot{q}_j}$

Lagrangeovu funkci pak můžeme zapsat jako

$\mathcal{L}=T-U$

Lagrangeova funkce podobného typu se vyskytuje např. při studiu pohybu nabitých částic v elektromagnetickém poli.

[editovat] Disipativní funkce

Za zvláštní případ zobecněné potenciálové funkce lze považovat situaci, kdy je možné sílu $F i$ vyjádřit jako

$F_i = -\frac{\part D(\dot{x}_k,x_k,t)}{\part \dot{x}_i}$

Funkce $D$ se nazývá disipativní funkce.

V tomto případě budou mít Lagrangeovy rovnice druhého druhu tvar

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\part T}{\part \dot{q}_i} - \frac{\part T}{\part q_i} = \frac{\part D}{\part \dot{q}_i}$

S disipativní funkcí se setkáváme např. u tření.

Disipativní funkce bývá často vyjadřována ve tvaru

$D = \frac {1}{2} \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^m C_{j k} \dot{q}_j \dot{q}_k$ ,

kde $C j k$ jsou konstanty, které se vztahují k tlumení fyzikálního systému.

[editovat] Příklady

[editovat] Pohybová rovnice oscilátoru

Úkolem je sestavit pohybovou rovnici pro těleso o hmotnosti m upevněné na pružině s koeficientem tuhosti c, jak je ukázáno na obrázku. Vzdálenost x představuje roztažení (výchylku) pružiny vůči klidovému stavu, přičemž předpokládáme, že pružina působí na těleso silou F přímo úměrnou výchylce x a koeficientu tuhosti c.

$F(x) = c \cdot x$

Kinetická energie tělesa T je známá, potenciální energie V v tomto případě představuje práci potřebnou k přesunu tělesa do vzdálenosti x od klidové polohy (viz Potenciální energie pružnosti). Ze znalosti energií lze sestavit lagrangián L.

$T = \frac{1}{2} m \dot x^2$

$V = \int_0^x {F(s)} \, ds = \int_0^x {c \cdot s} \, ds = \frac{1}{2} c x^2$

$\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2} m \dot x^2 - \frac{1}{2} c x^2$

Dosazením lagrangiánu do Lagrangeovy rovnice získáme hledanou pohybovou rovnici.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot x} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot x} = m \dot x, \,\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot x} = m \ddot x, \,\, \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = - c x$

$m \ddot x + c x = 0$

Stejnou rovnici lze také samozřejmě získat užitím druhého Newtonova pohybového zákona, který říká, že zrychlení tělesa je dáno součtem sil, které na těleso působí. Nicméně pro složitější soustavu těles se ukazuje být vhodnější Lagrangeův postup pomocí energií.

[editovat] Oscilátor a odpor prostředí

Zadání příkladu je téměř stejné, pouze je navíc přídána síla $F o$ představující odpor prostředí přímo úměrný rychlosti tělesa (se součinitelem odporu $α$ ) a působící proti rychlosti.

$F_o = - \alpha \cdot \dot x$

Přírůstek práce $d W$ v závislosti na přírůstku polohy $d x$ bude zřejmě $d W = F o d x$ , takže stačí dosadit do Langrangeovy rovnice a získat hledanou pohybovou rovnici.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot x} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}x} = F_o = - \alpha \cdot \dot x$

$m \ddot x + c x = - \alpha \dot x$

[editovat] Související články

Tento fyzikální článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Kategorie: Mechanika

Lagrangeovská formulace mechaniky v jiných jazycích: العربية, Català, Deutsch, English, Español, فارسی, Suomi, Français, Bahasa Indonesia, Italiano, 日本語, 한국어, ‪Norsk (bokmål)‬, Русский, Slovenščina, Svenska, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Lagrangeovsk%C3%A1_formulace_mechaniky“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 26. 6. 2008 v 19:18.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).