Laplaceův operátor

Laplaceův operátor (nebo jen Laplace) je diferenciální operátor ve vektorové analýze, definovaný jako divergence gradientu daného skalárního, nebo obecně tenzorového pole. Je-li aplikován na skalární pole, výsledkem je opět skalární pole, je-li aplikován na tenzorové pole, výsledkem je tenzorové pole stejného řádu. Bývá označován symbolem $Δ$ .

Laplace je invariantní vůči záměně souřadnic - to znamená, že (je-li aplikován na vektorové či tenzorové pole), výsledek je opět vektorové či tenzorové pole.

[editovat] Matematický popis

Definice Laplaceova operátoru zapsaná pomocí operátoru nabla, resp. pomocí operátorů divergence a gradientu, má tvar

$\triangle = \nabla^2 = \nabla \cdot \nabla = \mathrm{div} \, \mathrm{grad}$ .

Ačkoliv je tato definice nezávislá na soustavě souřadnic, zpravidla se zapisuje speciálně v kartézských souřadnicích jako

$\triangle = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2}{\partial x^2_i}$

v n-rozměrném prostoru, nebo speciálně

$\triangle = \frac{\partial^2} {\partial x^2} + \frac{\partial^2} {\partial y^2} + \frac{\partial^2} {\partial z^2}.$

v prostoru trojrozměrném.

Důležitým speciálním případem Laplaceova operátoru je jeho vyjádření v Minkowského čtyřrozměrném prostoru, které se často používá v teorii relativity při popisu dějů v prostoročasu. Toto vyjádření se nazývá d'Alembertův operátor, značí se symbolem $\square$ a má hodnotu

$\square = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } + {\partial^2 \over \partial z^2 } - \frac {1}{c^2}{\partial^2 \over \partial t^2 }.$

[editovat] Vyjádření v různých soustavách souřadnic

Následující vztahu udávají hodnotu Laplaceova operátoru v nejrůznějších souřadných soutavách v trojrozměrném prostoru. Je-li funkce f skalární pole v daných souřadnicích, pak platí

Ve válcových souřadnicích:

$\triangle f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2 }.$

Ve sférických souřadnicích:

$\triangle f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2},$

nebo ekvivalentní tvar ve sférických souřadnicích

$\triangle f = {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left( rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.$

Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x₁,x₂,x₃, jejíž Laméovy koeficienty jsou po řadě h₁,h₂,h₃, je vyjádření Laplaceova operátoru

$\triangle f = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left( \frac{\partial }{\partial x_1} \left( \frac{h_2 h_3}{h_1} \frac{\partial f}{\partial x_1}\right)+ \frac{\partial }{\partial x_2} \left( \frac{h_1 h_3}{h_2} \frac{\partial f}{\partial x_2}\right)+ \frac{\partial }{\partial x_3} \left( \frac{h_1 h_2}{h_3} \frac{\partial f}{\partial x_3}\right) \right)$

Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) se pak Laplaceův operátor zapíše jako divergence gradientu, tedy

$\triangle {f} = \left( f_{;i} g^{ik} \right)_{;k} = {{f}^{;k}}_{;k}=\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial x^i}\left(\sqrt{g}g^{ik}\frac{\partial f}{\partial x^k}\right),$

kde g označuje absolutní hodnotu determinantu metrického tenzoru. Poslední vzorec platí v riemannovských prostorech libovolné dimenze.

[editovat] Související články

Vektorové diferenciální operátory

Nabla • Gradient • Divergence • Rotace • Laplace • d'Alembertův operátor

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Laplaceův operátor v jiných jazycích: Deutsch, English, Español, فارسی, Français, Magyar, Íslenska, Italiano, 한국어, Lietuvių, Nederlands, Polski, Português, Română, Русский, Slovenčina, Slovenščina, Српски / Srpski, Svenska, Türkçe, Українська, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Laplace%C5%AFv_oper%C3%A1tor“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 10. 9. 2008 v 21:26.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).