Logaritmus

Logaritmus je matematická funkce, která je inverzní k exponenciální funkci. Logaritmus kladného reálného čísla x při základu a (a ∈ R⁺- {1} ) je takové reálné číslo

y = log_a x,

pro které platí

a^y = x.

V tomto vztahu se číslo a označuje jako základ logaritmu (báze), logaritmované číslo x se někdy označuje jako numerus, y je pak logaritmem čísla x při základu a.

[editovat] Vlastnosti logaritmů

$a^{\log_a x} = \log_a{a^x} = x$ (Logaritmus je inverzní funkcí k mocninné funkci o stejném základu.)
$log b (a c) = log b a + log b c$ (Logaritmus součinu je součet logaritmů jednotlivých činitelů.)
$\log_b \frac{a}{c} = \log_b a - \log_b c$ (Logaritmus podílu je rozdíl logaritmů čitatele a jmenovatele.)
$log b a r = r log b a$ (tzn. $log_b \sqrt[n]{a} = \frac{1}{n}\log_b a$ ; logaritmus mocniny je roven exponent krát logaritmus základu)
$log b b = 1$
$log b 1 = 0$
$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} = {\log_a b}\;{\log_b x}$

[editovat] Využití

[editovat] Výpočty

Pomocí výše uvedených rovností lze složitější operace převádět na jednodušší (násobení a dělení na sčítání a odčítání, mocnění a odmocniny na násobení a dělení), což se zvláště před rozšířením elektronických kalkulaček a počítačů využívalo při složitějších výpočtech prováděných ručně nebo mechanickými kalkulátory (které obvykle uměly jen sčítat). Pro usnadnění přepočtů existovaly logaritmické tabulky s předvypočítanými hodnotami logaritmů, případně logaritmické pravítko, mechanická pomůcka pro výpočty pomocí logaritmů.

Příkladem využití logaritmů je výpočet 17300 · √15478 pomocí tabulek logaritmů:

Nejprve se celá rovnice zlogaritmuje: $\log x = \log (17300 \cdot \sqrt 15478)$
Pomocí rovností o logaritmech se rovnice rozloží na jednodušší části: $\log x = \log 17300 + \frac{1}{2} \log 15478$
V tabulkách se vyhledají příslušné logaritmy (tabulky ovšem obsahují hodnoty jen na několik platných číslic):
- log 17300 ≅ 4,238
- log 15478 ≅ log 15480 ≅ 4,1898
Vypočte se výsledek logaritmovaného výrazu: log x = 4,238 + 2,0949 = 6,3329
Rovnice se zpětně umocní podle daného základu, výsledek se v tabulce dohledá zpětně: 10^6,3329 ≅ 2152000.
Nalezený výsledek: 17300 * √15478 ≅ 2152000 (přesnější výsledek spočtený na dnešní kalkulačce je 2152303.56, t.j. odchylka 0.014 %).

[editovat] Mimo matematiku

Logaritmy se objevují také v mnoha vědeckých oborech pro vyjádření závislosti na exponentu. Příkladem je jednotka decibel, vyjadřování hvězdné velikosti či v chemii vyjadřování kyselosti látek pomocí pH.

[editovat] Logaritmická stupnice

Některé veličiny nabývají výrazného rozpětí hodnot, až několika řádů. Příkladem může být koncentrace kationtů H₃O⁺ v roztoku:

roztok	Kyselina octová	Pivo	Mléko	Mořská voda	Amoniak
koncentrace H₃O⁺	0,0013	0,00003	0,0000003	0,00000001	0,000000000003

Je zřejmé, že při zobrazení těchto hodnot na číselné ose bude pivo bude přibližně 43× blíže k nule než ocet (0,0013/0,00003), mléko bude 100× blíže k nule než pivo (0,00003/0,0000003) a ostatní hodnoty také budou „namačkány“ v těsné blízkosti nuly. Přestože například koncentrace H₃O⁺ v mléku je stále 100000× (o pět dekadických řádů) vyšší než ve čpavku.

V takovém případě je výhodnější místo samotné koncentrace zobrazovat její logaritmus, tedy volně řečeno „řád koncentrace“. Tabulka po zlogaritmování bude vypadat následovně.

roztok	Kyselina octová	Pivo	Mléko	Mořská voda	Amoniak
log(koncentrace H₃O⁺)	-2,9	-4,5	-6,5	-8	-11,5

Je vidět, že takto upravené hodnoty jsou celkem rozumně rozloženy mezi -11,5 a nulou. Na závěr dodejme, že pH je definováno přibližně takto, pouze logaritmus koncetrace je uváděn bez znaménka. (Koncentrace je vždy menší nebo rovna 1, proto logaritmus koncentrace bude vždy menší nebo roven 0.)

[editovat] Speciální báze

[editovat] Desítkový logaritmus

U logaritmu o základu 10 (nazývaného desítkový či dekadický logaritmus, příp. Briggsův podle Henryho Briggse) se ve značení vynechává základ a píše se jen prostě log x, někdy se používá také speciální značení lg x.

[editovat] Přirozený logaritmus

Logaritmus o základu e se označuje jako přirozený logaritmus (někdy také Napierův podle Johna Napiera) a značí se ln x (logaritmus naturalis, latinsky přirozený logaritmus).

[editovat] Binární logaritmus

Hlavně v informatice se objevuje logaritmus o základu dva (binární logaritmus), který je v příslušném kontextu někdy značen lg x, případně ld x.

Např.: Při binárním vyhledávání v setříděném seznamu, který má n položek, je potřeba maximálně $l o g 2 n$ kroků k nalezení hledané hodnoty.

[editovat] Externí odkazy

Logaritmus v encyklopedii MathWorld (anglicky)
Logaritmické tabulky čísel od 1 000 000 do 9 999 999 (česky)

Kategorie: Matematická analýza | Matematické funkce

Logaritmus v jiných jazycích: العربية, Български, Bosanski, Català, Dansk, Deutsch, Ελληνικά, English, Esperanto, Español, فارسی, Suomi, Français, Galego, עברית, हिन्दी, Hrvatski, Magyar, Interlingua, Bahasa Indonesia, Ido, Íslenska, Italiano, 日本語, 한국어, Latina, Lietuvių, Latviešu, മലയാളം, Bahasa Melayu, Nederlands, ‪Norsk (bokmål)‬, Polski, Português, Română, Русский, Simple English, Slovenčina, Slovenščina, Српски / Srpski, Svenska, ไทย, Türkçe, Українська, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Logaritmus“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 20. 9. 2008 v 15:08.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).