Lp prostor

Název tohoto článku není z technických důvodů zcela správný. Správný název by měl být L^p-prostor či L_p-prostor.

Prostor $L p (a, b)$ ( $1\leq p<\infty$ ) je metrický prostor, který je „skoro“ tvořen měřitelnými funkcemi, jejichž $p$ -tá mocnina je konečně integrovatelná v $\langle a,b\rangle$ . Vzdálenost v tomto prostoru je pak definována vztahem

$d(f,g)= {\left[\int_a^b {\left|g(x)-f(x)\right|}^p \mathrm{d}x\right]}^\frac{1}{p}$

Důležité jsou např. podprostory $L 2 (a, b)$ tvořené reálnými (či komplexními) funkcemi, které jsou spojité, resp. po částech spojité na intervalu $\langle a,b\rangle$ a integrovatelné s kvadrátem. Vzdálenost dvou bodů tohoto prostoru je tedy dána vztahem

$d(f,g) = \sqrt{\int_a^b {\left|g(x)-f(x)\right|}^2 \mathrm{d}x}$

[editovat] Obecné $L p$ -prostory

Obecněji, je možné definovat $L p$ -prostory pro $p\in(0,\infty\rangle$ na prostorech $Ω$ s nezápornou mírou $μ$ , a sice následujícím způsobem. Pro reálnou či komplexní měřitelnou funkci definujeme

$\begin{align} \|f\|_p &:= \left[\int |f|^p \,\mathrm{d}\mu\right]^\frac{1}{p}, \qquad 0<p<\infty, \\ \|f\|_{\infty} &:= \inf \{ \sup |g|:\, g \mbox{ je skoro vsude rovna } f \}, \end{align}$

takže pro $d(f,g):=\|f-g\|_p$ tato obecná definice splývá s výše uvedenou. Prvky prostoru $L p (Ω)$ pak jsou přesně ty funkce, pro které je $\|f\|_p < \infty$ . Pro funkce $f$ skoro všude (tj. až na množinu míry 0) nulové však platí $\|f\|_p = 0$ , takže je ještě nutné považovat za identické funkce, které jsou si skoro všude rovné.

$L p$ -prostory mají zajímavé vlastnosti. Pro $p\in\langle 1,\infty\rangle$ se ukazuje, že $\|\cdot\|_p$ je norma a prostor je Banachův. Pro $p = 2$ jde dokonce o Hilbertův prostor.

Nejdůležitějšími příklady jsou:

prostory $L p (Ω)$ pro množinu $Ω$ v $R n$ s Lebesgueovou mírou,

prostory $\ell^p$ , definované jakožto $L p$ -prostory nad množinou přirozených čísel s aritmetickou mírou. Prvky $\ell^p$ jsou tedy jisté posloupnosti čísel.

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Kategorie: Algebra | Matematická analýza

Lp prostor v jiných jazycích: Dansk, Deutsch, English, Español, Français, Italiano, Lietuvių, Nederlands, Polski, Piemontèis, Português, Русский, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Lp_prostor“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 12. 8. 2008 v 16:22.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).

Lp prostor

[editovat] Obecné Lp-prostory

[editovat] Obecné $L p$ -prostory