Maxwellovy rovnice

James Clerk Maxwell

Maxwellovy rovnice jsou základní zákony v makroskopické teorii elektromagnetického pole, které zformuloval James Clerk Maxwell v roce 1865. Lze je zapsat buď v integrálním nebo diferenciálním tvaru. V integrálním tvaru popisují elektromagnetické pole v jisté oblasti, kdežto v diferenciálním tvaru v určitém bodu této oblasti.

Obsah

1 Formulace Maxwellových rovnic
2 Materiálové vztahy pro materiály s lineární závislostí
3 Maxwellovy rovnice jako vlnové rovnice potenciálů
4 Literatura

[editovat] Formulace Maxwellových rovnic

Níže uvedený zápis je platný v jednotkách soustavy SI. V jiných soustavách se v zápisu objevují navíc konstanty jako např. rychlost světla c a $4π$ (Ludolfovo číslo) v soustavě CGS.

[editovat] První Maxwellova rovnice (zákon celkového proudu, zobecněný Ampérův zákon)

integrální tvar

$\oint_{c} \mathbf{H}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{l}=I+\frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t},$ $\Psi \equiv \int_{S} \mathbf{D}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S},$ $I = \int_{S} \mathbf{j}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}.$

Cirkulace vektoru intenzity magnetického pole H po libovolně orientované uzavřené křivce c je rovna součtu celkového vodivého proudu I a posuvného proudu $\frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t}$ , spřažený křivkou c, Křivka c a libovolná plocha S, jež křivku obepíná jsou vzájemně orientovány pravotočivě.

diferenciální tvar

$\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.$

Rotace vektoru intenzity magnetického pole H je rovna hustotě vodivého proudu j a hustotě posuvného (Maxwellova) proudu $\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.$

[editovat] Druhá Maxwellova rovnice (Zákon elektromagnetické indukce, Faradayův indukční zákon)

integrální tvar

$\oint_{c} \mathbf{E} \cdot\, \mathrm{d}\mathbf{l}=- \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t},$ $\Phi \equiv \int_{S} \mathbf{B} \cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}.$

Cirkulace vektoru E po libovolně orientované uzavřené křivce c je rovna záporně vzaté časové derivaci magnetického indukčního toku spřaženého křivkou c. Křivka c a libovolná plocha S, jíž křivka obepíná, jsou vzájemně orientovány pravotočivě.

diferenciální tvar

$\nabla \times \mathbf{E}=- \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.$

Rotace vektoru intenzity elektrického pole E je rovna záporně vzaté derivaci magnetické indukce B.

[editovat] Třetí Maxwellova rovnice (Gaussův zákon elektrostatiky)

integrální tvar

$\oint_{S} \mathbf{D}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}=Q,$ $Q= \int_{V} \rho \, \mathrm{d}V.$

Elektrický indukční tok libovolnou vně orientovanou plochou S je roven celkovému volnému náboji v prostorové oblasti V ohraničené plochou S.

diferenciální tvar

$\nabla \cdot \mathbf{D}= \rho.$

Divergence vektoru elektrické indukce D je rovna objemové hustotě volného náboje ρ. Ekvivalentní formulace: siločáry elektrické indukce začínají nebo končí tam, kde je přítomen elektrický náboj.

[editovat] Čtvrtá Maxwellova rovnice (Zákon spojitosti indukčního toku)

integrální tvar

$\oint_{S} \mathbf{B}\cdot \, \mathrm{d}\mathbf{S}=0.$

Magnetický indukční tok libovolnou uzavřenou orientovanou plochou S je roven nule.

diferenciální tvar

$\nabla \cdot \mathbf{B}=0.$

Divergence vektoru magnetické indukce $\mathbf{B}$ je rovna nule.

Ekvivalentní formulace: Neexistují magnetické monopóly.^[1]

Fyzikální proměnné použité v Maxwellových rovnicích shrnuje následující tabulka

Označení	Význam	Jednotka SI
$\mathbf{E}$	intenzita elektrického pole	V/m
$\mathbf{H}$	intenzita magnetického pole	A/m
$\mathbf{D}$	elektrická indukce	C/m²
$\mathbf{B}$	magnetická indukce	T
$\ \rho \$	hustota volného náboje	C/m³
$\mathbf{j}$	hustota elektrického proudu	A/m²

[editovat] Materiálové vztahy pro materiály s lineární závislostí

Pro širokou třídu materiálů lze předpokládat, že hustota polarizace P (C/m²) a hustota magnetizace M (A/m) jsou vyjádřeny jako:

$\mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}$

$\mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H}$

a že pole D a B jsou s E a H provázány vztahy:

$\mathbf{D} \ \ = \ \ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} \ \ = \ \ (1 + \chi_e) \varepsilon_0 \mathbf{E} \ \ = \ \ \varepsilon \mathbf{E}$

$\mathbf{B} \ \ = \ \ \mu_0 ( \mathbf{H} + \mathbf{M} ) \ \ = \ \ (1 + \chi_m) \mu_0 \mathbf{H} \ \ = \ \ \mu \mathbf{H},$

kde:

$χ e$ je elektrická susceptibilita materiálu,

$χ m$ je magnetická susceptibilita materiálu,

ε je elektrická permitivita materiálu a

μ je magnetická permeabilita materiálu

V nedisperzním izotropním médiu jsou ε a μ skaláry nezávislé na čase, takže Maxwellovy rovnice přejdou na tvar:

$\nabla \cdot \varepsilon \mathbf{E} = \rho$

$\nabla \cdot \mu \mathbf{H} = 0$

$\nabla \times \mathbf{E} = - \mu \frac{\partial \mathbf{H}} {\partial t}$

$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{j} + \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$

V homogenním médiu jsou ε a μ konstanty nezávislé na poloze a lze tedy jejich polohu zaměnit s parciálními derivacemi podle souřadnic.

Obecně mohou být ε a μ tenzory druhého řádu, které potom odpovídají popisu dvojlomných (anizotropních) materiálů. Nehledě na tato přiblížení však každý reálný materiál vykazuje jistou materiálovou disperzi, díky níž ε nebo μ závisí na frekvenci.

Pro většinu typů vodičů platí mezi proudem a elektrickou intenzitou Ohmův zákon ve tvaru

$\mathbf{j} = \sigma \mathbf{E},$

kde σ je měrná vodivost daného materiálu.

[editovat] Maxwellovy rovnice jako vlnové rovnice potenciálů

Wikimedia Commons nabízí obrázky, zvuky či videa k tématu

A Treatise on Electricity and Magnetism Volume I

Wikimedia Commons nabízí obrázky, zvuky či videa k tématu

A Treatise on Electricity and Magnetism Volume II

Ekvivalentně (a mnohdy s výhodou) lze vyjádřit Maxwellovy rovnice pomocí skalárního a vektorového potenciálu $\varphi$ a $\mathbf A$ , které jsou definovány tak, aby platilo

$\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}\,,$

$\mathbf{E} = -\nabla\varphi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\,.$

$\mathbf E$ a $\mathbf B$ se přitom nezmění, pokud k potenciálu $\varphi$ přičteme libovolnou konstantu, nebo k $\mathbf A$ gradient libovolného skalárního pole. Proto pro jednoduchost výsledných rovnic můžeme navíc zvolit tzv. Lorentzovu kalibrační podmínku

$\nabla\cdot\mathbf{A}+\varepsilon\mu\frac{\part \varphi}{\partial t}=0\,.$

Maxwellovy rovnice potom mají tvar vlnových rovnic

$\square \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon}\,,$

$\square \mathbf{A} = -\mu\,\mathbf{j}\,,$

kde $\square$ je d'Alembertův operátor.

Ve speciální teorii relativity tvoří elektrický a magnetický potenciál dohromady čtyřvektor zvaný čtyřpotenciál $A μ$ . Také d'Alembertův operátor lze zobecnit na čtyřvektory. V tomto formalismu (a s předpokladem Lorentzovy podmínky) lze pak všechny Maxwellovy rovnice napsat jako jedinou nehomogenní vlnovou rovnici

$\square A^\mu={j^\mu\over\epsilon_0}\,.$

kde $j μ$ je elektrický čtyřproud a $ε 0$ je permitivita vakua. Ve vakuu je navíc čtyřproud nulový, takže rovnice se stane homogenní a její řešení odpovídá šíření elektromagnetických vln.

[editovat] Literatura

↑ Bedřich Sedlák, Ivan Štoll: Elektřina a magnetismus, Academia, 2002, ISBN 80-200-1004-1, text ke vztahům (3.72) a (3.73)

Kategorie: Elektromagnetismus

Maxwellovy rovnice v jiných jazycích: Afrikaans, العربية, Български, বাংলা, Català, Dansk, Deutsch, Ελληνικά, English, Esperanto, Español, Euskara, فارسی, Suomi, Français, Galego, עברית, हिन्दी, Hrvatski, Magyar, Bahasa Indonesia, Íslenska, Italiano, 日本語, 한국어, Latina, Lietuvių, Latviešu, Nederlands, ‪Norsk (nynorsk)‬, ‪Norsk (bokmål)‬, Polski, Português, Română, Русский, Simple English, Slovenčina, Slovenščina, Shqip, Српски / Srpski, Svenska, ไทย, Türkçe, Українська, Tiếng Việt, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Maxwellovy_rovnice“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 11. 11. 2008 v 10:36.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).