Minkowského prostor

Minkowského prostor se používá k popisu časoprostoru ve speciální teorii relativity. Matematicky jde o 4-rozměrný reálný lineární vektorový prostor se skalárním součinem. Změnu inerciální vztažné soustavy odpovídající Lorentzově transformaci lze chápat geometricky jako otáčení v Minkowského prostoru. Stejnou rotací přitom projdou čtyřvektory všech fyzikálních veličin.

[editovat] Složky vektoru

Vektor v Minkowského prostoru $\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu}$ má 4 souřadnice

$a^\mu = \left( a^0, a^1, a^2, a^3 \right)\,.$

První z nich nazýváme časová složka nebo časová komponenta $t$ , ostatní tři odpovídají prostorovým souřadnicím $x, y, z$ . Někdy se na časové ose používá jiné měřítko, což odpovídá konvenci měření času v sekundách a vzdálenosti v metrech. Přepočet mezi sekundou a metrem je dán rychlostí světla ve vakuu $c=299792458\ \mathrm{m.s^{-1}}$ . V tomto článku předpokládáme na všech osách stejné měřítko, což odpovídá $c = 1$ . Vizte též přirozená soustava jednotek.

[editovat] Skalární součin

Skalární součin dvou vektorů v Minkowského prostoru ( $\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu},\ \mathbf{b}=b^{\mu}\mathbf{e}_{\mu}$ ) je definován vztahem

$\langle \mathbf{a},\mathbf{b} \rangle \equiv a_\mu b^\mu = \eta_{\mu \nu} a^\mu b^\nu = -a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\,.$

Jako v eukleidovském prostoru, dva vektory nazýváme kolmými (ortogonálními), jestliže jejich skalární součin je roven nule.

[editovat] Minkowského norma

Norma vektoru v Minkowského prostoru má trochu jiné vlastnosti než Eukleidovská norma, protože popisuje odlišnou geometrii. Předně, Minkowského norma není pozitivně definitní, může tedy nabývat i záporných hodnot. Je definována jako skalární součin vektoru se sebou samým.

$||\mathbf{a}||^2 =\langle \mathbf{a},\mathbf{a} \rangle =-a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2$

Vektor je nazýván jednotkovým, pokud platí $||\mathbf{a}||^2=\pm 1$ .

[editovat] Báze

Standardní bázi Minkowského prostoru tvoří 4 ortogonální jednotkové vektory $\mathbf{e}_0,\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3$ , pro které platí

$-||\mathbf{e}_0||^2 = ||\mathbf{e}_1||^2 = ||\mathbf{e}_2||^2 = ||\mathbf{e}_3||^2 = 1\,.$

Tuto podmínku lze stručně zapsat jako

$\langle \mathbf{e}_\mu, \mathbf{e}_\nu \rangle = \eta_{\mu\nu}\,,$

kde $η$ je diagonální matice

$\eta=\operatorname{diag}\left(-1,1,1,1\right)= \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\,.$

[editovat] Související články

[editovat] Externí odkazy

(en)Minkowského prostor na MathWorldu

Kategorie: Lineární algebra | Relativistická fyzika

Minkowského prostor v jiných jazycích: العربية, Català, Deutsch, English, Español, Suomi, Français, Magyar, Bahasa Indonesia, Italiano, 日本語, 한국어, Polski, Português, Română, Русский, Türkçe, 中文

Tento článek je převzat z české wikipedie - otevřené encyklopedie, originální článek naleznete na adrese: „http://cs.wikipedia.org/wiki/Minkowsk%C3%A9ho_prostor“
Stránka byla naposledy upravena v Stránka byla naposledy editována 22. 8. 2008 v 08:36.
Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (Autorské právo pro podrobnosti).